シュレーディンガ方程式の平均値の方程式

シュレーディンガ方程式： 
ih'∂t ψ＝Ｈψ、　－ih'∂t ψ＊＝(Ｈψ)＊ 
より、Ａを時間に依存しない演算子として、ψ＊Ａを左から掛けて
(ψ＊Ａ)ih'∂t ψ＝ψ＊ＡＨψ 
Aψ を右から掛けて 
－ih'∂t ψ＊Aψ＝(Ｈψ)＊Aψ 
上から下を引いて
ih'(ψ＊Ａ)∂t ψ＋ih'∂t ψ＊Aψ＝ψ＊Ａ(Ｈψ)－(Ｈψ)＊Aψ 
左辺は全微分であり、エルミート性を使うために両辺をｘで積分すると
ih' d/dt ∫(ψ＊Ａψ) dx = - ∫(Ｈψ)＊Aψ－ψ＊Ａ(Ｈψ) dx 
ih' d/dt ＜A＞＝- ∫ψ＊[A, H]ψ dx 
d/dt ＜A＞= i/h'＜[A, H]＞ 
//
これは、エーレンフェストの定理で
A → <A>
H →  H_av
としたポアソン括弧式：　d/dt <A>=｛<A>, H_av｝
に対応します。
完全に一致しないのは、<A>やH_avが演算子でないので
＜[<A>, H_av]＞＝[<A>, H_av]＝０
となり、無意味な式になるからで、
ｈ→０　で一致します。