[ちょっとした計算] もつれ状態の部分系の状態

測定の時のもつれ状態を、観測者から見た全体系は
例えば、スピンの↑・↓で、測定対象をｓ、測定器をｄとするなら
全体系の状態＝｜↑s>|↑d> + |↓s>|↓d>
という純粋状態の重ね合わせです。

１．観測者にとっての部分系の状態

全体系の密度行列＝（|↑s>|↑d> + |↓s>|↓d>）（<↑s|<↑d| + <↓s|<↓d|）
＝|↑s>|↑d><↑s|<↑d|＋|↓s>|↓d><↓s|<↓d|
（↑↓が混じる状態は矛盾するので、|↑s>|↓d>とかは確率０）
部分系(s)の密度行列は、これからｄの状態を縮約したものだから、
部分系(s)の密度行列＝|↑s><↑s|＋|↓s><↓s|
これは混合状態（干渉項がないので状態ベクトルで表せない）
同様に、ｓの状態を縮約したｄの密度行列＝|↑d><↑d|＋|↓d><↓d|
であり、混合状態。

２．部分系にとってのもう一方の部分系の状態

上記より、全体系の密度行列＝|↑s>|↑d><↑s|<↑d|＋|↓s>|↓d><↓s|<↓d|
部分系(s)の密度行列＝|↑s><↑s|＋|↓s><↓s|　で、
（観測者の状態を含まないことに注意）
これを対等なｄ系から見ると、|↑s>と|↓s> が両方あり（純粋状態かは不明）
ｄ系の状態を含まないことに注意して、
ｓ系自体の密度行列＝ |↑s><↑s|＋|↓s><↓s|＋|↑s><↓s|＋|↓s><↑s| 
＝（|↑s>＋|↓s>）（<↑s|＋<↓s|）
これは状態ベクトル|↑s>＋|↓s>　であり、純粋状態。
よく考えると、全体の観測者から見たらｓ系は部分系だが、
ｓ系自体をｄ系からみたら対等であり、測定する前、
ｓ系が↑と↓の重ね合わせになっているのは、当たり前の話。
（ｓ系が混合状態なら、全体系は 完全な重ね合わせ状態にはならない）

３．１と２は矛盾しない

一見矛盾するようだが、これは広く言えば「観測者によって状態は異なる」
のと同じことで、
全体の観測者から見たらｄ系は混合状態というのは、測定開始や状況に
かかわらない状態だから（もちろん測定後は、１つの純粋状態に確定）
ｓ系自体をｄ系からみたら、↑と↓の重ね合わせになっているのは、
系が対等な関係だから（重ね合わせ）