[前世紀の残務整理] 箱の中の粒子

「壁が無限高さの箱の粒子」の位置表示の波動関数は、
ψ(x) = a cos(ｎπx/L)　　（ -L/2＜ｘ＜L/2）
ψ(x) = 0　　　　　　　（ｘ≧L/2 or ｘ≦ -L/2）
この運動量が、昔（昭和の頃）は、
cos(ｎπx/L)＝1/2 {exp(iｎπx/L)+exp(-iｎπx/L) }
という関係から exp(iｎπx/L)=exp(P_n x/ih') と置いて
P_n＝±h'π n/L という進行波と後進波の「重ね合わせ」で
ψ(p) = 1/2 δ(p-p_n) + 1/2 δ(p+p_n)
という説明が、ほぼ常識でした。
（そうでないのは、ランダウ・リフシッツ「量子力学」だけ）
しかし、正準交換関係より「常にψ(x)のフーリエ変換はψ(p)」
が言えます。
証明は： https://kafukanoochan.hatenablog.com/entry/2020/06/13/213440 
この系は、ｘ軸のー∞から＋∞の間の原点付近にただ１つの「箱」
があるわけなので、それをフーリエ変換したψ(p) は
連続関数であり、δ関数にはなり得ません。
つまり、昔のψ(p)は誤っています。
昔のψ(p)は、箱の外が「ずーっと箱の繰り返し」の場合であり、
第一近似でしかありません。
正しいψ(p) は「ランダウ・リフシッツ「量子力学」p118問題１の解」
であり連続関数です。運動量は飛び飛びの値は、とりません。