[オープン論文]フォンノイマンエントロピを導く

この小論文は、オープンサイエンスの一環として
皆様に公開するものです。
自由に拡張・改変して発表してかまいません。
公開することで、多くの方々の参考になり、
どなたかの論文のタネになるのなら、
物理学の発展に寄与できると思います。

論文の概要

普通、純粋状態の情報エントロピー（シャノンエントロピー）
は、０とします。
しかし、波動関数の複素共役との積ψ*(q,t)ψ(q,t)は、
「物理量がｑである時の確率密度」
を表すので測定できます（例えば電子雲とかの像）
そして、確率密度P(q)から情報エントロピーＳが計算できます。
Ｓ＝ －∫dq P(q)log(P(q) )
もちろん、固有値分解したものを考えると情報エントロピーは
０です。また、波動関数そのままの情報エントロピーを考えても、
波動関数ψ(q,t)は、ψ(q,t)|q> = |q><q|ψ> で定義される
ので、物理量ｑは無数に考えられ、確率密度の分布は１つに
定まらないので、情報エントロピーは意味を持たないです。
そこで、「ある物理量ｑの測定」が始まる時、
定まっているｑについての波動関数ψ(q,t) と、
射影仮説を適用した後のψ_after(q,t)＝δ(q-q0) についての
情報エントロピーを考えます。計算すると、
その差は、フォンノイマン・エントロピーに一致します。
詳しくは、以下をお読みください。

波動関数の情報エントロピーの計算

① 離散固有値系の場合：

固有状態の|ａ>での確率は、
Ｐa＝<ψ|ａ><ａ｜ψ>
情報エントロピーSは、
Ｓ＝－Σa <ψ|ａ><ａ｜ψ>log( <ψ|ａ><ａ｜ψ> )　　
＝－Σa f(a)＊f(a)log( f(a)＊f(a) )　
＝－Σn Ｐnlog(Ｐn )
密度行列ρにおいて、対角項が Ｐnlog(Ｐn )であると考えると
＝－Tr(ρlogρ)
また、射影仮説を適用した後のＳ_after は、
－Σn Ｐnlog(Ｐn ) ＝－１nlog(１ )＝０　ですから、
その差－Tr(ρlogρ)が、系の外＝観測者に入る
ことになります（その全てが観測者の情報の増加ではないが）

② 連続固有値系の場合：

確率密度＝ψ＊ψ＝<ψ|ｑ><ｑ｜ψ>　なので、
確率密度・Δｑ＝ψ(q)＊ψ(q)Δｑ＝確率　と考えれば、
情報エントロピーSは、
Ｓ＝－Σ ψ＊ψΔｑ log(ψ＊ψΔｑ)　　
＝－Σ { ψ＊ψ log(ψ＊ψ)Δｑ＋ψ＊ψΔｑ logΔｑ｝　
＝－∫dq ψ＊ψ log(ψ＊ψ) －∫dq ψ＊ψ log dq
ここで　dq=exp(da) と置くと、第２項は、　
∫exp(da) ψ＊ψ da なので発散。
S＝－∫dq ψ＊ψ log(ψ＊ψ) ＋∞
＝－∫dq Ｐ(q)log(Ｐ(q) ) ＋∞
また、射影仮説を適用した後のＳ_after の左項は、
－１nlog(１ )＝０　
その差は、発散項が消え、
－∫dq Ｐ(q)log(Ｐ(q) )
ここで、無限次元の密度行列ρにおいて、
対角項が Ｐ(q)log(Ｐ(q) )であると考えると、
－∫dq Ｐ(q)log(Ｐ(q) ) ＝－Tr(ρlogρ)

したがって、フォンノイマン・エントロピー＝－Tr(ρlogρ)が
導けました。
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フォンノイマン・エントロピーの正体

上記からこれは、物理量ｑの測定時　生成される
波動関数<q|ψ> の「平均情報量」
と言えます。