[清水量子の解説]第３章 要請(公理)

第３章は、量子力学の「理論に対する５つの要請」の説明です。
「要請」とは、数学で言えば、「公理」に相当します。
ただ、数学と違うのは、公理の肯定・否定が、実験で定まる
ということです。
ここでは、「要請」と、それが定まる実験事実(思考実験を含む)
との関係を書きます。

この本で扱う量子力学

章題の「閉じた有限自由度系の純粋状態の量子論」です。
基本変数は、「点」の位置や運動量であり、
それを正準量子化したものです。
これが、無限自由度系で基本変数を「場」とし、
それを正準量子化したら「場の量子論」となります。
「第２量子化」という言い方は間違いです。
（波動関数は「場」ではない）

数学的定義

ベクトル空間：
　　　１つの元は、要素をｎ個組みにしたもの（ｎ≧２）
　　　元の定数倍（０倍も含む）と和も、新な元となる集合。
　　　これを、元の定数倍と和が成す（張る）ベクトル空間と呼ぶ
　　　例えば、要素が有理数なら Q^n  要素が複素数ならＣ^n
　　　この元を「ベクトル」と呼び、縦ベクトル v は｜v>と書きます。
　　　尚、元は独立な変数のｍ次式でもよい（m≧１　要素はm+1個）
　　　元の例：　x^2 - 3x + 1 
ヒルベルト空間：（完備内積空間）
　　　ベクトル空間に「元の内積」を定義し、その集合が完備
　　　であるもの　（要素が有理数なら完備ではない）
　　　例えば、Ｒ^n や Ｃ^n
　　　ベクトル v1,v2 の内積は <v2｜v1>と書きます。
　　　内積の導入により、ベクトル v のノルム（長さ）＝√{<v|v>}
　　　や完全直交系、以下の射影演算子とかが定義できます。
射影演算子：
　　　作用対象のベクトル |ψ>中の |a>成分の値（内積）をαとすると
　　　|a><a|ψ>＝α|a>
　　　この |a><a|を、射影演算子と呼ぶ

理想測定の定義

　　　対象系の物理量Aに対する測定で、測定値が
　　　Aについてただ１つの「値」が出る測定で
　　　誤差のない（誤差が無視できる）測定をいいます。
　　　（測定する物理量がAとBなら、測定値はそれぞれ１つずつ）
　　　「誤差がない」とは、以下の考察から、
　　　Aの固有値のそのままの値が、測定値になる
　　　ということです。

理想測定から言えること

　　　理想測定での測定値 a の分布を考えると、
　　　同一状態に揃えた対象系（のアンサンブル）において、
　　　古典系の場合、分布はデルタ関数δ(a-a0)１つだけですが、
　　　量子系の場合は、δ関数が複数ある場合（どの値も正しい）
　　　や連続関数の場合（値が連続分布）もあります。
　　　つまり、測定値は、(誤差がないが)相反する値が複数あり
　　　得るということです。
　　　対象系の状態は、「状態の重ね合わせ」が可能な
　　　ベクトル（ヒルベルト空間の元)である　とし、
　　　物理量が演算子(正確には自己共役演算子)であって、
　　　測定の前後で、演算子自体が変わらない不変な値
　　　（変わったら、何を測定しているのかわからない）
　　　＝固有値が測定値である　とする理論構成が考えられます
　　　そう仮定すると、以下の要請１、２が出てきます。　　　

　　　理想測定は、誤差のないただ１つの測定値（＝固有値）を得るもの
　　　なので、測定前後が同じ状態（固有ベクトルの重ね合わせ状態）は
　　　あり得ず、測定後は１つの固有ベクトルだけにしかなり得ません。
　　　ということは、どの測定値(＝固有値) a になるかは対等であり
　　　測定毎にバラつくはず　と考えられます。
　　　そして、その確率は、
　　　状態ベクトル中の固有ベクトル｜a>の成分の大きさの２乗
　　　つまり、固有ベクトルへの射影の「大きさの２乗」
　　　＝｜|a><a|ψ> |^2 =｜|a>ψ(a) |^2 = | ψ(a) |^2
　　　とすると、波動関数ψ(a)が、|a><a|ψ>＝ψ(a)|a>
　　　として定義され、その確率と整合するので、
　　　これと上記を仮定すると、要請３(ボルンの確率規則）
　　　が出てきます。

　　　要請３(ボルンの確率規則）は、測定後の状態については
　　　何も言っていませんが、
　　　理想測定直後（時間発展が無視できる間）を、もう１度、
　　　測定すると同じ測定値が得られるという事実から
　　　測定した後の状態は、その測定値＝固有値に対応する
　　　固有ベクトルだけになると言えます。
　　　（誤差のない測定値＝固有値を１つだけを得るので）
　　　したがって、測定前の状態ベクトルは、
　　　「測定した後と同じ１つの固有ベクトル」であるか、
　　　「対象物理量の固有ベクトル全ての重ね合わせ状態」かです。
　　　これから、以下の要請５(射影仮説）が出てきます。

５つの要請（公理）

要請１：　純粋状態
　　　量子系の純粋状態は、あるヒルベルト空間の規格化された
　　　射線で表される。
　　　ヒルベルト空間の元(ベクトル)そのものではないことに注意

要請２：　物理量
　　　可観測量は、あるヒルベルト空間上の自己共役演算子
　　　によって表される。
　　　自己共役演算子⊂エルミート演算子　である

要請３：　ボルンの確率規則
　　　状態｜ψ>について、物理量Aの理想測定を行った時、
　　　測定値は、Aの固有値のどれか１つになる。
　　　どの固有値になるかは、一般には測定毎にバラつき
　　　（測定値はどれも対等。どれも正しい）
　　　固有値 a になる確率は、固有ベクトルへの射影の大きさの２乗
　　　＝｜|a><a|ψ> |^2 =｜|a>ψ(a) |^2 = |ψ(a) |^2
　　　で与えられる。

要請４：　シュレーディンガ方程式
　　　状態ベクトルは、この方程式：
　　　ih'∂t |ψ> = Ｈ |ψ>
　　　に従って時間発展（ユニタリ発展）する。
　　　（この記事とは、関係ないので取り上げません）

要請５：　射影仮説
　　　測定直前に |ψ>なる状態ベクトルである系
　　　（ |ψ>は、固有ベクトルの重ね合わせ状態）
　　　に対し、物理量Aの理想測定を行い、
　　　測定値がAの固有値の１つ a であったとする。
　　　その場合、固有ベクトルへの｜a>の射影演算子を
　　　Ｐ(a)＝|a><a|
　　　とすると、測定後の状態ベクトルは：
　　　｜ψ_after> =Ｐ(a)｜ψ>
　　　で与えられる固有ベクトルただ１つになる。