中学数学の文章題を１からやり直してみた その１
こんにちは。ワクワクと申すものです。
現在、個別指導塾の講師バイトをしております。
主に中学数学を教えておりますが、数学が伸び悩む生徒の多くは、
文字を使って式を立てる文章題が苦手であると言います。
うーん、わかる！
私も中学のとき、ちょっとでも長い文章を読ませられると、
すぐ解く気が失せてしまっていました。
そんな得意不得意が分かれる文章題ですが、講師として、
日本語から数式へ置き換えるための、うまい説明とトレーニング方法を、
生徒に提案できるようになりたい！
と思い、中学数学の文章題を1から学びなおすことにいたしました。
中1の全単元を通しで見直してみた
全体像を把握しようと思って、中1数学のテキストを通しで見てみると、大体以下の順番で進めるようになっていました。
正の数、負の数
文字と式
一次方程式
比例と反比例
平面図形
立体図形
資料の整理と活用
これらのうち、文章を数式に置き換える作業が必要になるのは、これら3つでした。
文字と式
一次方程式
比例と反比例
文章題でつながる数学のステージアップ
さて、具体的に内容をなぞっていくと、この3単元は文章題を通して、
内容が次々につながることに気付き、一本のストーリーが出来上がるほど、
しっかりした構成で組まれていることに感動しました。
具体的なステップは次の通りです。
まず「文字と式」で、文字を用いて一つの数量を表せられるようになり、
同じく「文字と式」で、文字で表した二つの数量の比較から、等式・不等式が使えるようになる。
そして初めて「一次方程式」の文章題で、一次式を用いた数量の関係から、方程式が立てられるようになり、
「比例と反比例」でも、二つの数量の関係を関数として表すことが出来るようになる。
…とこんな感じでしょうか。図解してみると以下のようになりそうです。
ちなみに、代入の概念は「式の値(文字と式)」で初めて出てきており、これも関数分野への布石となっておりました。
「文字と式」の文章題の攻略
それでは、具体的な文章題に触れていきます。
一次方程式と、比例と反比例の基礎となるので、丁寧に見ていきます。
こんな問題がありました。
A. 一辺の長さ a mの正三角形の周の長さ
B. 分速 b mで 900 mの道のりを移動してかかった時間
C. 90 円のボールペン c 本と 80 円の鉛筆 d 本買った時の代金
D. e ページの本を1日 10 ページずつ f 日間読んだ残りのページ数
（出典：中学１年生 数学 練習問題プリント 無料ダウンロード・印刷｜ちびむすドリル【中学生】 (happylilac.net)）
答えとしては、3a, 900/b, 90c+8d, e-10f ですが、それぞれの問題には、
四則演算を行うためのキーワード、及びルールが存在するのではないかと考えてみました。
各演算のキーワード及びルールを次のようにまとめました。
掛け算の使いどころ
キーワード：「一つ当たり〇〇の・・・」
ルール ：「（単位量）✖（個数or割合）＝（量）」
問題文のいたる所に散りばめられているこの「一つ当たり」の量ですが、
これがあるということは「個数or割合」が分かる別の言葉が必ずあります。
それが見つかったら迷いなく掛け算をしましょう。
ルールは公式チックに書いてみました。
これにのっとって問題文Aを分析してみます。
単位量は、問題の「一辺の長さが a m」に該当する。
個数に該当する「正三角形の辺の数3」を単位量に掛ける。
すると、知りたい量である「周の長さ」が分かる。
EX.・ 1つ 3 ㎏の荷物 a 個分の重さ・・・3 kg/個 ✖ a 個 ＝3a kg
・x ㎡の土地の11％の面積・・・$${x}$$ ㎡ ✖ $${\frac {11}{100}}$$ ＝ $${\frac{11}{100}x}$$ ㎡
割り算の使いどころ
キーワード：「速度は？」「時間は？」「割合は？」「元の量は？」
ルール ：「（単位量）＝（量）÷（個数or割合）」
「（個数or割合）＝（量）÷（単位量）」
割り算を使う場面は、掛け算のルールに基づいて考えてみると、
2パターンあると考えます。
単位数を求める場合 (一つ当たりいくらか？)
個数or割合を求める場合
ところで、速度・道のり・時間の関係を整理すると、
掛け算のルールに沿うことが出来ます。
（道のり）＝（速度）✖（時間）
速度は、単位時間(1秒・1分・1時間)あたりに進む「道のり」なので、
速度は、「単位量」と言えます。
問題文Bを割り算のルールに当てはめると、
分速 b ｍは1分あたりに進む道のりなので「単位量」に該当する
時間は「個数」に該当し、道のりを「量」とみなすことが出来る
（時間）＝（道のり）÷（速度）と導けるので、900÷ｂ (分)となる
EX. ・400 kmの道のりを、車で平均時速 a kmで走るのにかかった時間・・・
（400/a）時間
・消費税10 %の商品をｂ円で買ったときの、税抜き価格・・・
ｂ÷$${\frac {110}{100}}$$ = $${\frac{10}{11}b}$$(円)
足し算の使いどころ
キーワード：「合計」
ルール ：「同じ単位の量で足すこと」「結果も同じ単位であること」
とても当たり前のことですが。。
文字式を使うと、これらのことを忘れてしまう場合が多いものです。
足し算の使いどころとしては、
「〇〇と◇◇の合計」という意味の文章があった場合です。
同じ単位の量が2つ以上並列していれば、足し算を使う可能性があります。
それでは、足し算のルールに従って問題文Cの分析してみます。
「ボールペンｃ本」の金額と「鉛筆ｄ本」の金額をたして合計金額を出す
それぞれの金額は、「（単位量）✖（個数）＝（量）」で出せる
よって合計金額は （90c + 80d）円となる
引き算の使いどころ
キーワード：「おつり」「のこり」「あまり」
ルール ：「（最初の量）ー（消費した量の合計）＝（残量）」
同じ単位の量同士でしか引けないのは足し算でのルールと同じです。
文章題の問題分を見ていった中で、多かった場面は、
「大きい量から、単位量分を何回かずつ減らしていく」ものでした。
図解すれば以下ような感じでしょうか。
それでは、引き算のルールにのっとって、問題文Dを分析します。
読む本の総ページ数は「e ページ」であるので、これが最初の量となる。
「1日 10 ページずつｆ日間」が単位量✖個数に該当する。
「読んだ」と言うことは、ページ数を減らしていったと考えていい。
残量は、「e ページ」から消費した量「10f ページ」を引いた量となる。
EX. 入場料が、学生1人 a 円、大人1人 b 円とする。5000円を出して、学生2人と大人2人分の料金を払ったときのおつり・・・ {5000ー(2a+2b)}円
その他「公式」に従う問題文
代表的なのは、三角形の面積の公式でしょう。
（底辺）✖（高さ）÷２
また立方体の体積の公式も、私が解いた問題の中にありました。
（一辺の長さ）³
円周の長さも忘れてはいけません。円周率はπとします。
2 ✖（半径）✖ π
みんな大好き、円の面積の公式です。
（半径）² ✖ π
その１のまとめ
いかがだったでしょうか。今回は、ステージとして
１．文字を用いて1つの量を表せられるようになる
という所までの文章題を解いて、分析していきました。
解いていて気づいたのが、結局、図解ができるか否かで、
イメージのしやすさが、全然違ってくることに気が付きました。
しかし、文字を用いて1つの量を表せられるようになれば、
今度は、2つの量の比較から、等式と不等式が立てられるようになります。
その２予告
次回は、等式と不等式を作るためのキーワードとルールを探っていきます。
本格的な立式のメソッドを体験しようと思います。
それでは失礼します。