シンドローム逆行列の計算

$${A^{−1}}$$は$${A}$$の行列式の逆数と余因子行列の積となる。すなわち

$$
A = \dfrac{\~{A} }{|A|}
$$

これを使って3重誤りについてピーターソン法におけるシンドローム行列$${S}$$

$$
S = 
\begin{pmatrix}
S_1 & S_2 & S_3 \\
S_2 & S_3 & S_4 \\
S_3 & S_4 & S_5 \\
\end{pmatrix}
$$

の逆行列を求めると、

$$
|S| =
S_1 S_3 S_5 + 
S_2 S_4 S_3 + 
S_3 S_2 S_4 +  \\
S_3 S_3 S_3 +  
S_2 S_2 S_5 + 
S_1 S_4 S_4  
$$

$$
\~{S} = 
\begin{pmatrix}
S_3S_5 + S_4S_4 & S_2S_5 + S_3S_4 & S_2S_4+S_3S_3 \\
 & S_1S_5 + S_3S_3 & S_1S_4 + S_3S_2  \\
& & S_1S_3 + S_2S_2 \\
\end{pmatrix}
$$

(対称行列なので略している)