直接的な復号法の動作例2

上記記事に続いて、あえて誤りが3つ以上の時に2重誤り訂正がどう動作するかを確認する。

送信語を"110100111101010"とする。誤り位置が次数0, 7, 12にあるとする。すなわち誤り多項式は$${e(x) = 1 + x^7 + x^{12}}$$。受信多項式は$${v(x) =  x + x^3 + x^6 +x^8 + x^9 + x^{11} + x^{12} + x^{13} }$$。
これを復号してみる。
まずシンドローム

$$
S_1 = v(\alpha) = \alpha + \alpha^3 +\alpha^6 + \alpha^8 + \alpha^9 +\alpha^{11} +\alpha^{12} + \alpha^{13} \\
=1 + \alpha^2 = \alpha^8 \\
\\
S_3 = v(\alpha^3) = \alpha^3 + \alpha^9 + \alpha^{3} + \alpha^{9} + \alpha^{12} + \alpha^{3} + \alpha^{6} + \alpha^{9} \\
=1
$$

誤り位置多項式の係数を計算する

$$
S_1 =\alpha^8 \\
S_1^2 + S_3/S_1 = \alpha+\alpha^{-8} = \alpha + \alpha^7 = \alpha^{14}
$$

よって、誤り位置多項式は、$${\sigma(x) = 1 + \alpha^8z + \alpha^{14}z^2}$$
根を求める。ひたすら代入していって確認する。

$$
\sigma(1) = 1 + \alpha^8 + \alpha^{14} = \alpha^{13}\\ 
\sigma(\alpha) = 1 + \alpha^9 + \alpha = \alpha^{14}\\ 
\sigma(\alpha^2) = 1 + \alpha^{10} + \alpha^{3} = \alpha^{11}\\ 
\sigma(\alpha^3) = 1 + \alpha^{11} + \alpha^{5} = \alpha^{14}\\ 
\sigma(\alpha^4) = 1 + \alpha^{12} + \alpha^{7} = \alpha^{8}\\ 
\sigma(\alpha^5) = 1 + \alpha^{13} + \alpha^{9} = \alpha^{5}\\ 
\sigma(\alpha^6) = 1 + \alpha^{14} + \alpha^{11} = \alpha^{5}\\ 
\sigma(\alpha^7) = 1 + 1 + \alpha^{13} = \alpha^{13}\\ 
\sigma(\alpha^8) = 1 + \alpha + 1= \alpha\\ 
\sigma(\alpha^9) = 1 + \alpha^2 + \alpha^{2} = 1 \\ 
\sigma(\alpha^{10}) = 1 + \alpha^3 + \alpha^{4} = \alpha^{9} \\ 
\sigma(\alpha^{11}) = 1 + \alpha^4 + \alpha^{6} = \alpha^{11} \\ 
\sigma(\alpha^{12}) = 1 + \alpha^5 + \alpha^{8} = \alpha \\ 
\sigma(\alpha^{13}) = 1 + \alpha^6 + \alpha^{10} =\alpha^{9} \\
\sigma(\alpha^{14}) = 1 + \alpha^7 + \alpha^{12} =\alpha^{8} \\ 
$$

したがって解なしになって、エラー検出だけは可能。