数学をことばにしよう：整式の剰余

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

x^5=(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+1
つまり、x^5はmod (x^4+x^3+x^2+x+1)で≡1
n=5l+m (m=0,1,2,3,4)と置くと、x^4n+x^3n+x^2n+x^nは
x^20l+4m+x^15l+3m+x^10l+2m+x^5l+m
=x^4m・(x^5)^4l+x^3m・(x^5)3l+x^2m・(x^5)^2l+x^m・(x^5)^l
≡x^4m+x^3m+x^2m+x^m
したがって、
m=0のとき、つまり、nが5の倍数のときは余り4
m=1のとき、x^4+x^3+x^2+x/x^4+x^3+x^2+x+1=-1、余り-1
m=2,3,4のとき、x^5≡1であるから、同様に余り-1
つまり、nが5の倍数以外の時は余り-1が解答

整式のmodです。余りの性質で数や数式が分類できる点、相変わらずおもしろいですね。

勉強になりました！

（了）