数学をことばにしよう：立方根

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

z=(9+√80)^1/3と共役な2つの複素数が解となることから
z=(9+√80)^1/3の実数解αを出すために
z^3=9+√80の共役な無理数y^3=9-√80を想定してみる
α=(9+√80)^1/3, β=(9-√80)^1/3と置いて
α^3+β^3=18, αβ=1,またα+β=tと置くと
α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β), 18=t^3-3t, (t-3)(t^2+3t+6)=0
t^2+3t+6に実数解がないため、t=3
つまり、x^2-3x+1の2解がαとβ
これを解くと、3±√5/2, したがってα=3+√5/2が解答
共役な2つの複素数は、複素平面において(1,0)を一つの頂点とする単位円周上の正三角形の、他の2頂点であることから、それぞれ、120°、240°回転させた値を求めると、
θ=2/3πでは-1/2+√3/2i、θ=4/3πでは-1/2-√3/2iであることから、これらにαを掛けて、-(3+√5)/4+3√3+√15/4iと-(3+√5)/4-(3√3+√15)/4iが解答

立方根になると途端に複雑になりますね。αを出すために、βを想定してみて、解と係数の関係でαを出す解法、解と係数の関係の偉大さを感じますね。複素数平面でn乗根の正ｎ角形を考える解法も、好きです。

勉強になりました！

（了）