数学をことばにしよう：三項間漸化式

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

α^n+β^n=a_nと置くと
特性方程式の性質からa_n+2-3a_n+1+5a_n=0 ①
α^n+β^n-3^n=b_nと置くと
a_n=b_n+3^n ②
②を①に代入すると
b_n+2=3b_n+1-5b_n-5・3^n ③
解と係数の関係からα+β=3, αβ=5
α_2+β^2=(α+β)^2-2αβ=-1
b_1=0, b_2=-10=-2・5
b_k=5M, b_k+1=5N
③よりb_k+2=5(3N-M-3^n)は5の倍数
したがって、題意は示される

解と係数の関係、三項間漸化式と特性方程式、数学的帰納法などを使う良問でした。東工大の問題、良質ですね。

勉強になりました！

（了）