数学をことばにしよう：三次方程式の解

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

相異三実根と極値をもつグラフになるため、q>0
f(x)=x^3-px^2+(p^2-2p)x+qとおくと
f'(x)=3x^2-2px+p^2-2pの判別式、D/4=p^2-3p^2+6p=-2p(p-3)>0, p(p-3)<0
よって、0<p<3, つまり整数pは1か2
p=1のとき、x^3-x^2-x+q=0, g(x)=x^3-x^2-x+qとおくと、
g'(x)=3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1), よって、x=-1/3で極大値、x=1で極小値をもつ
x=1のとき、-1+q≦0であるために、p=1は不適
p=2のとき、x^3-2x^2+q=0, h(x)=x^3-2x^2+qとおくと、
h'(x)=3x^2-4x=x(3x-4), よって、x=0で極大値、x=4/3で極小値をもつ
x=4/3のとき、64/27-2・16/9+q<0, q<32/27であるため、p=2, q=1が解答

多次方程式を微分したり判別式で検討したり、グラフの形や定義域を確認する問題、好きですね。

勉強になりました！

（了）