数学をことばにしよう：3次関数と直線の交点

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

y=x^2の(a, a^2)での接線は、y=2a(x-a)+a^2
y=x^3-axと接線を連立させると、y=x^3-3ax+a^2 ①
f(x)=x^3-3ax+a^2とおくと、f’(x)=3x^2-3a=3(x^2-a)
①が相異3実根をもつためには極値をもつため、a>0
つまり、f'(x)=3(x+√a)(x-√a)
相異3実根をもつためにはf(√a)f(-√a)<0
よって、(a√a-3a√a+a^2)(-a√a+3a√a+a^2)=a^2(a+2√a)(a-2√a)<0
つまり、a-2√a<0, √a(√a-2)<0, √a<2, a<4
したがって、0<a<4が解答

基本問題ですね。いい復習になりました。

勉強になりました！

（了）