数学をことばにしよう：三乗根

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

α=(26+15√3)^1/3, β=(26-15√3)^1/3とおくと
α^3+β^3=52, αβ=1,
α^3+β^3=(α+β)^3-3αβ(α+β)=52, α+β=tとおくと
t^3-3t-52=0, (t-4)(t^2+4t+13)=0, つまりt=α+β=4
αとβはx^2-4x+1の2解だから、α=2+√3, β=2-√3
a_n=α^n+β^nとおく
三項間漸化式はa_n+2=4a_n+1-a, mod10で検討すると
a_1=4≡4 
a_2=(α+β)^2-2αβ=14≡4 
a_3≡12≡2
a_4≡4
a_4≡14≡4
a_5≡12≡2
a_6≡4
つまり、4,4,2の3つの数で周期性があることがわかる
a^2020≡1 (mod3), よってa^2020の1の位は4
a^n=α^n+β^nで、β^nは0に収束する小数点以下の数なので、
α^nの1の位は4-1=3が解答

いろんな良問のいいところを足した自作問題でした。三乗根の解法、対称式、剰余、1以下の数の累乗など、いろいろなポイントがありました。私としては、AだけではAについてわからないけど、A+B=Cにしたときの、CやBについてを調べれば、Aがわかるロジックが、すごくためになりました。

勉強になりました！

（了）