数学をことばにしよう：三次方程式

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

f(x)=x^3-20x^2+(100-a)x+8a-23とする
f(α)=α^3-20α^2+100α-23=aα-8a=a(α-8), α-8≠0なのでf(α)をα-8で割ると
α^2-12α+4+9/α-8=a>0, 9/α-8は整数なので、α-8=±1, ±3, ±9が候補
また最大9、最小-9なので、必要条件としてα^2-12α+4>-9, α^2-12α+13>0, (α-6)^2>23, つまりα<6-√23, 6+√23<α, αは自然数
該当するαの候補は11か17
α^2-12α+4+9/α-8=aに当てはめてみると、α=17, a=90が適する
a=90を与式に代入してみると、x^3-20x^2+10x+697=0
(x-17)(x^2-3x-41)=0であるため、α=17のみが自然数解

以上です。整数かつ自然数問題ですね。最後に十分条件を確認するところがポイントです。

勉強になりました！

（了）