数学をことばにしよう：三角形の面積最大

鈴木貫太郎さんの動画です。今回も数学をことばにして、解説してみます。

（図表は動画をご参照ください）
f(x)=x(x-2)(x-4), つまり、x軸と0, 2, 4で交わる上に凸から始まる3次関数
f´(x)=3x^2-12x+8の2解で極大極小をもつ
A=(3,-3), つまりOA: y=-xの直線
点と直線の距離の公式より、x+y=0だから、|t+t^3-6t^2+8t|/√2
f(t)=t^3-6t^2+9tが最大のとき△OAPが最大
f(t)=t(t-3)^2, f'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)
つまり、x軸と0, 3でまじわり、極大がx=1、極小がx=3で重解をもつ、上に凸から始まる3次関数
0<t≦4であるから、x=4はx=1と同様に最大、したがって、t=1,4が解答

最大・最小化問題は受験数学の醍醐味を感じますね。今回は点と直線の距離を使う問題でした。与式の接線がx=4より上か下かを調べる方法も、動画では紹介いただいていました。

勉強になりました！

（了）