มาลองหา sqaure root ของ matrix กัน
มาลองหา sqaure root ของ matrix กัน
square root (รากที่สอง) ที่เรารู้จักทั่วไป เป็นเรื่องของตัวเลข ที่เป็นบวก เช่น square root ของ 4 คือ 2 โดยเมื่อ ยกกำลังสอง (square) ของ 2 จะได้เท่ากับ 4
นั่นคือ 2x2 = 4
square root ของตัวเลขที่เป็นลบ จะไม่เป็นจำนวนจริง แต่จะเป็นจำนวน complex number ซึ่งเราจะไม่คุยไปถึงในบทความนี้นะครับ
ส่วนในบทความนี้ เราจะคุยกันเรื่อง square root ของ matrix กันนะครับ
ซึ่งธรรมดา คงไม่ค่อยได้ปรากฏในการคิดคำนวณ บ่อยนัก แต่ เพื่อให้ เรารู้จัก matrix มากขึ้น จะเอาเรื่อง square root ของ matrix มาลองคิด ลองคุยกันดูนะครับ
สมมุติเรามี matrix ขนาด 2x2 ดังต่อไปนี้
$$
A = \begin{pmatrix}
a & b \ \\ c & d
\end{pmatrix}
$$
square root ของ matix นี้ ก็คือ matrix
$$
S =
\begin{pmatrix}
w & x \ \\ y & z
\end{pmatrix}
$$
ที่เมื่อ เอา matrix S นี้มายกกำลังสอง (เอามาคูณแบบ matrix กับตัวมันเอง) จะได้ matrix A
$$
\begin{pmatrix}
w & x \ \\ y & z
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
w & x \ \\ y & z
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a & b \ \\ c & d
\end{pmatrix}
$$
ปกติ เลขทั่วไปที่ค่ามากกว่าศูนย์ เราจะหา square root สองได้เสมอ แต่สำหรับ ในแวดวงของ matrix นั้นจะไม่เสมอไป เช่น matrix ต่อไปนี้ เราจะไม่สามารถ หา sqaure root matrix ที่เป็นจำนวนจริงได้
$$
N =\begin{pmatrix}
1 & 2 \ \\ 3 & 4
\end{pmatrix}
$$
ในขณะที่ matrix ต่อไปนี้ จะหา sqaure root matrix ได้
$$
Y =\begin{pmatrix}
1& 3 \ \\ 0 & 4
\end{pmatrix}
$$
โดยจะเป็น matrix ต่อไปนี้
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 \ \\ 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \ \\ 0 & 2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
1 & 3 \ \\ 0 & 4
\end{pmatrix}
$$
ถ้าพูดลงลึกหน่อย ก็จะประมาณว่า matrix ที่สามารถมี sqaure root matrix ที่เป็นจำนวนจริงได้ จะต้องเป็น matrix ที่ มีค่า eigen values เป็นจำนวนจริงและ มากกว่าศูนย์ ซึ่ง สำหรับ matrix ขนาด 2x2
$$
A = \begin{pmatrix}
a & b \ \\ c & d
\end{pmatrix}
$$
เงื่อนไขที่ว่า ก็จะแปลออกได้เป็น ว่า
$$
0 \leq bc \leq ad
$$
จากความจริงนี้ เราก็จะเห็นว่า matrix N ข้างบน ไม่มี squre root matrix ที่เป็นจำนวนจริง ในขณะที่ matrix Y มีเงื่อนไขครบ เลย มี squre root matrix ที่เป็นจำนวนจริง
พอรู้ trick (ความจริง) นี้แล้ว คราวนี้ ผมว่า ทุกท่านคงอยากลอง สร้าง matrix ที่ถอด square root ได้ และ ใครที่คันมือ ก็คงจะเริ่มเขียนโปรแกรม python หรือ julia เพื่อ หา square root of a matrix กันใช่ไหมครับ
แน่นอน matrix ที่ใหญ่กว่า 2x2 ใด ๆ ก็สามารถใช้หลักการเดียวกันนี้ ในการหา square root matrix of a matrix ได้ และ matrix ที่ถอดรากสองไม่ได้ เราก็สามารถเข้าใจและอธิบายได้ และถ้าเราขยายขอบเขตไปถึงจำนวน complex number จะบอกได้ว่า matrix ที่มีค่า eigen values ใดๆ จะมี square root matrix
ชักสนุกและอยากรู้มากขึ้นใช่ไหมครับ ต้องเรียนเรื่อง matrix เพิ่มกันแล้วครับ
เขียนไปเขียนมา ไป อ่านเพิ่มที่ link ของ wikipedia ข้างล่างนี้ ปรากฏว่า เนื้อหาดีมากมาย ขอพวกเราช่วยอ่านและขยายความสนุกและการใช้งานกันต่อไปด้วยนะครับ
matrix เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ที่คนคิดขึ้นมานี่ฉลาดมาก น่าจะเริ่มมาจาก การหาแนวทางแก้โจทย์ linear equation, linear algebra ซึ่ง แอบซ่อนอยู่ในปัญหาต่าง ๆ ทั้งทางวิชาการ และ ชีวิตจริง รวมทั้งการทำคณิตศาสตร์สำหรับ AI, machine learning ทั้งหลายแหล่ด้วย ปกติเราจะเรียน linear algebra จริงจังกันประมาณปีหนึ่งปีสองของมหาวิทยาลัยสำหรับสายวิทย์ โดยเกริ่น ๆ ก็จะมีตั้งแต่ ม.ปลาย (เรื่อง matrix เบื้องต้น) ครับ
ถ้าปัญหาจะมีก็คือ คนสอน มักจะไม่บอกว่า เรียนไปแล้วมีประโยชน์(มากมาย)อย่างไร คนเรียนก็เลยน่าจะเบื่อหน่าย และไม่ค่อยได้ติดอาวุธกันมาหลังเรียนจบ
ยุคนี้ เราสามารถเรียนเองได้จากทางเน็ตมากมาย รวมทั้ง มีเครื่องไม้เครื่องมือ ดีๆ คือ พวก programming language (python, julia, etc…) ทั้งหลายให้ลองใช้ ลองเรียน รวมถึงใช้งานจริง มากมาย ใครที่จะเรียนและทำงานสายวิทย์ ความเข้าใจที่เพียงพอเกี่ยวกับ matrix จะสำคัญมาก ขอพวกเราเอาติดตัวให้ได้กันนะครับ รับรองว่าเก่งเรื่องนี้ รับงานได้ทั่วโลก
สมัยก่อน ไม่มีคอมพิวเตอร์ การคำนวณ matrix ทำด้วยคนคิดและคอมพ์ช่วยนิดหน่อย ลำบากลำบนมาก แต่สมัยนี้เครื่องไม้เครื่องมือครบครัน ขอเราเข้าใจหลักการเพียงพอ การใช้งานก็จะลื่นไหลเพราะให้คอมพ์ช่วย และเราแค่คอยดูว่า คอมพ์และโปรแกรมทำงานได้ถูกต้องหรือไม่
เราอยู่ในยุคที่เรียนเรื่องสำคัญแต่เข้าใจยาก ได้ง่าย ๆ ขึ้นมาก คนไทยก็ต้องใช้โอกาสนี้ เพื่อให้ไล่คนประเทศอื่น ๆ ทันกันนะครับ คนทุกรุ่น ตอนเกิดเริ่มจากความรู้ศูนย์เหมือนกัน ยุคก่อนจนเสียเปรียบรวยมาก แต่สมัยนี้ ถ้าเป็นเรื่องโอกาสในการเรียนรู้แล้วละก็ ผมว่า โอกาสเริ่มพอ ๆ กัน ที่เหลือ คือ ใครจะใช้โอกาสและเวลาให้เป็นประโยน์มากกว่ากัน
ดร.อิทธิ
2023/5/29
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか？