n進数の小数表現

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n進数の小数表現

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今回は「n進小数」の回です。
ここでは、n進数で換算されたときの小数表現について学びます！

1. 【復習】n進数から10進数への変換方法

まずは、1011₍₂₎を10進数になおしてみましょう。

このように、1桁に2個数字が集まると位が一つ上がることから
各桁に何個ずつ数字が集まっているのか、分解して足してあげます。

2. 2進小数から10進数への変換方法

それではさっそく今日のテーマ、2進数の小数を10進数に直すことから考えてみましょう。

この問題も、同じように、桁ごとに分解して計算してあげましょう。
さて、小数の指数表示を、みなさんは覚えていますか？（私はうっかり忘れていました…）

1の位が「0乗」で表されることから、0.1の位は、「マイナス1乗」と
順に繰り下がって表記されます。そのため、このように桁を整理することができました。

あとは、そのまま計算してあげることで成り立ちますね。0.6875が正解です。
計算のポイントは、2⁻¹ → 1/2¹ である点です。

3. 10進数から2進数への変換方法

10進数からn進数に変換するときの求め方は覚えていますか？
そうです、すだれ算でしたね！

それでは、同じようにやってみましょう！

……あれれ、
同じように２ですだれ算をしようとすると
小数を２で割り続ける（２の塊が一つもない）状態となるので、うまく計算ができませんね。
なぜ「すだれ算」で求められるのか、立ち戻って考えましょう。

・整数のとき…2の塊が、求めたい数の中に、いくつ入っているか調べる
・小数のとき…2⁻¹（=1/2）の塊が、求めたい数の中に、いくつ入っているか調べる

なので考えてあげることは、求めたい数字（0.625）の中に、いくつ2⁻¹が入っているのか、すだれ算は下記のように式を立ててあげましょう。

この計算方法となっても、0.625を 2⁻¹（=1/2） で割ってあげることに変わりません。
0.625を2⁻¹（=1/2）で割り算する、ということは、元の数字に2を掛け算してあげることと同じです。
また、元の数字に 2⁻¹（=1/2）がいくつ入っているかを知りたいため、
各数字に2⁻¹（=1/2）が何個入っているかを左側に記入・2⁻¹（=1/2）で割ったときの整数が個数、となるため下記のように数字を整理しながら計算しましょう。（ここは、動画のほうが分かりやすいです）

そして、２進数に落とすときも、上から読んで答えを導きます。
今回の場合は、0.1010が答えです。

4. n進数⇄n'進数 の変換方法

最後に、n進数⇄n'進数で復習しましょう。

いつものごとく、10進数に置き換えてあげることで、求めましょう。
Aは、10進数でいうと「10」に該当するので、その前提で変換します。

(A.2)₁₆は、(10.125)₁₀と示すことができるとわかりました。
続いて、(10.125)₁₀を２進数に変換する時は、すだれ算を整数部分と小数部分に分けて計算しましょう。

すると、整数部分は(1010)₂で、小数部分は(0.0010)₂となります。
【整数部分と小数部分で、数字の読み上げ方が逆になることに注意！！】
それぞれを足し上げると、答えは1010.0010となります。