従業員の扶養に変化があった時

扶養家族に変化があった時は【被扶養者異動届】を提出します。
✖移動ではありません。
〇異動です。
立場や状態が変化することを「異動」と呼ぶそうです。
日本年金機構へ保険証と一緒に送付して届出終了です。

日本年金機構
　従業員の扶養に移動があった場合
　提出資料

家族の出産や死亡、就職などで扶養家族の構成が変わった時は、その事実発生から5日以内に管轄の年金事務所へ提出します。

保険証はどうするの？
保険証の回収については、異動届と同封して日本年金機構へ送ると良いようです。ちなみに、日本年金機構の全国の事務センターはこちらです。
健康保険・厚生年金保険関連の書類はすべてこちらで対応してくれます。
郵便番号と宛先を書くだけで届くようになっています。