【数学公式】離散三角関数の二乗和公式
離散コサイン変換や，離散サイン変換などで現れる，三角関数の二乗和に関する公式を証明します．（三重対角行列，Triagonal matrix の対角化で出てきたのですが…ちょっと苦戦しました…）
とても良い問題だと思います．（高校数学と，オイラーの公式を組み合わせて解く，）
定理 (Theorem)
$$
\sum_{i=1}^{N} \sin^2{\left( \frac{i}{N+1} k \pi \right)} = \frac{N+1}{2},
\\
k\in \mathbb{Z}, N \in \mathbb{N}
$$
証明 (Proof.)
簡単のために，$${\theta_i \equiv \frac{i}{N+1} k \pi }$$ とおく．
$$
\sin^2{\theta_i} = \frac{1- \cos(2\theta_i)}{2}
$$
であるから，
$$
S \equiv \sum_{i=1}^{N} \sin^2{ \theta_i }
= \frac{1}{2} \left( N - \sum_{i = 1}^{N} \cos{(2\theta_i)}\right)
$$
命題（Proposition）
ここで，以下の命題が成り立つ：
$$
\sum_{i = 1}^{N} \cos{(2\theta_i)} = (-1)^{2k+1}
$$
命題の証明 (Proof. of proposition)
$$
\sum_{i = 1}^{N} \cos{2 \theta_i}
= \sum_{i = 1}^{N} \mathscr{R}(\exp(j2\theta_i))
= \mathscr{R}\left( \sum_{i = 1}^{N}\exp(j2\theta_i) \right)
$$
ここで，$${\theta_i = i k \pi / (N+1)}$$ とおいたことに注意すれば，以下のように証明できる：
$$
\begin{array}{}
\sum_{i = 1}^{N}\exp(j2\theta_i)
&=& \exp{(j 2 \theta_1)} \frac{ (1 - \exp{(j 2 \theta_N)}) }{ 1 - \exp{(j 2 \theta_1)} }
\\\
\\\
&=& \exp{(j ( \theta_{1}+\theta_N ))} \frac{ \exp{(j \theta_N)} - \exp{(- j \theta_N)} }{ \exp{(j \theta_1)} - \exp{(- j \theta_1)} }
\\\
\\\
&=& \exp{(j \theta_{N+1})} \frac{ \sin{\theta_N} }{ \sin{\theta_1} }
\\
\\
&=& (-1)^k \frac{ \sin{\theta_N} }{ \sin{\theta_1} }
\end{array}
$$
ここで，$${\theta_N = \theta_{N+1} - \theta_1 = k\pi - \theta_1}$$であるから，
$$
\sin{\theta_N} = \sin ( k\pi - \theta_1) = (-1)^{k+1} \sin{\theta_1}
$$
したがって，
$$
\sum_{i = 1}^{N}\exp(j2\theta_i)
= (-1)^k \frac{ (-1)^{k+1} \sin{\theta_1} }{ \sin{\theta_1} } = (-1)^{2k + 1}
$$
この命題を用いると，求める和$${S}$$は，以下のように変形できる：
$$
S \equiv \sum_{i=1}^{N} \sin^2{ \theta_i }
= \frac{1}{2} \left( N - (-1)^{2k + 1} \right)
= \frac{1}{2} \left( N +(-1)^{2(k + 1)} \right)
= (N+1)/2
$$
Q.E.D.
P.S. 以下のページにありますね．