円の極線と正射影ベクトル
円の極線は範囲としては数学IIの図形と方程式の問題になるのですが、それをベクトルで解いちゃいましょう。今年どっか旧帝で出るんじゃないかなぁと思ってます。
僕は正射影ベクトルというものが嫌いで嫌いで仕方なかった時期もありましたが、内積の図形的意味を考えると正射影ベクトルってすごく簡単なことをだっていうのは理解出来ると思います。頻出？かどうかは分かりませんが個人的に解答の幅が広がるので知っておいて損はないと思います。
実際の入試問題を解いてみましょう。
まさしく極線の問題です。実際に記述答案でどう書くかはすごく迷いましたが、
極線上に任意の $${ 点X(x,y) }$$ という点をおき、
あとは内積を考えるために $${ θ,φ }$$ と内積に必要な角度を考える
あとは画像のようにお決まりの流れで導出すれば問題ないと思います。
後半は正射影ベクトルを使っています。
点 $${ Q }$$ は極線に下ろした垂線ですが、今 $${ OA = OB }$$ なのでお互いの三角形は相似で $${ Q }$$ は $${ AB }$$ の中点です。
応用①で扱った接線の方程式は教科書に載っているそうなのでそのまま使って大丈夫です。
もし証明が出題されたら、内積の図形的意味を考えてあげてください。
そして $${ QR }$$ は極線の方程式なので同じ流れで解いてあげましょう。
練習問題
そのうち解答載せます。やる気のある人は挑戦してください！