＃6 良問日誌

Twitterで見かけた問題ですごく勉強になるなぁって思った問題があったので紹介します。どこの大学の問題かわかる人がいたら教えて欲しいです。1990年の問題ですかね？

(1) $${3^{2m} + 1}$$ は $${ 2 }$$ で割り切れるが $${ 4 }$$ で割り切れないことを示せ。
(2) $${ 2^k }$$ が $${ 3^{2^n} - 1 }$$ を割り切るような最大の整数 $${ k }$$ を示せ。
(3) $${ 3^{1990} -1 }$$ は $${ 2 }$$ で最高何回割り切れるか。

出典不明

〇〇で割り切れるか？と聞かれたら $${ \mod 〇〇 }$$ を思い浮かべると思います。

(1)は 「$${ 2 }$$ で割り切れるが $${ 4 }$$ で割り切れない 」であるため $${ \mod 4 }$$ を考えればいいです。

(2)日本語が少し難しいですが、 $${ (3^{2^n} - 1) ÷ 2^k }$$ を行い、その答えが整数となるようなものの中で最大の $${ k }$$ を求めます。
答えに検討がつかないので少し実験を行いましょう。求めるのは $${ k }$$ の最大値であるため、$${ n }$$ に適当な数を入れて、その時 $${ k }$$ がどんな値で最大値を取るのか調べてみます。
すると、 $${ k = n + 2 }$$ と予想できるため、これを示します。

(3) $${ 3^{1990} -1 = (3^{950} + 1) (3^{950} - 1) }$$
$${ 3^{950} + 1 }$$ は(1)と同じ形です。$${ 2 }$$ で割り切れるが $${ 4 }$$ で割り切れないです。
$${ 3^{950} - 1 }$$ は $${ \mod 4 }$$ を行うと $${ ≡0 }$$ となるため、 $${ 4 }$$ で割り切れることがわかります。 $${ \mod 8 }$$ を考えると、 $${ ≡2 }$$ となることから、$${ 4 }$$ で割り切れるが $${ 8 }$$ で割り切れないです。

つまり、
$${ 3^{1990} - 1 }$$ は  $${ 2 }$$ で最大 $${ 3 }$$ 回割り切れます。

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私の解答

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(2)は誘導だと思っていたのですが、違ったみたいです。模範解答持ってるわけじゃないので間違いがあるかもしれません。見つけたらコメントで教えてください。

この問題の類題が京大数学にあるので、追加で紹介します。

(1) $${ n }$$ を正の整数, $${ a = 2^n }$$ とする. $${ 3^a -1 }$$ は $${ 2^{n+2} }$$ で割り切れるが, $${ 2^{n+3} }$$ で割り切れないことを示せ.
(2) $${ m }$$ を正の偶数とする. $${ 3^m - 1 }$$ が $${ 2^m }$$ で割り切れるならば $${ m = 2 }$$ または $${ m = 4 }$$ であることを示せ.

2010 京大 理系 乙 第5問

(1)に関しては先ほどの問題と同じですが、実験しなくてもいいので先ほどの問題より簡単ですね。証明はほぼ同じなので省略します。

(2)下画像参照
{}内は $${ l }$$ 個の奇数の和です。
{}内は次のように表せます。

$$
\sum_{k=0}^{l-1} (3^a)^k
$$

この $${ l }$$ に適当な正の奇数を代入すれば、確かに奇数個の奇数の和になっていることがわかると思います。

質問等あればコメントまで。