【tan89°と1ラジアン】tan89°はいくつ？

高校生の頃、89°ってどのくらいの傾きなんだろうと思ったことがある。
ほぼ直角なのだから100とかいくのかな？1000はいかないかな？とか思って、教科書の後ろにある三角関数の表をみたら、tan89°＝57.3と書かれており、意外に小さい(?)んだなと思ったことを覚えている。

クラスメイトにこの問題を出したが見当もつかない人、自分よりも大きな数字を言っている人もいた気がする。

ラジアンって何だっけ

ラジアンとは、「円の半径に等しい長さの弧の中心に対する角度」＝「単位円で、長さが1の弧に対する中心角」
要は下図のように、半径＝弧の長さのときの角度が1ラジアンである。

で、1ラジアンはいくつかというと、180°＝πラジアンから
1ラジアン＝180°/π＝57.3°くらいであることがわかる。

偶然の一致？

単位は違うがこの数字の一致は偶然ではないだろうと思い、色々調べたり思い出しながら
tan89°の傾きを導出した。

tan1°＝tan(90°−89°)＝1/tan89°

θが十分小さいときtanθ＝θ(＝sinθ)と近似してよい(10年ぶりにこの近似を思い出した)ので、
1/tan89°＝tan1°＝1°

180°＝πなので1°＝π/180

よってtan89°＝180/π＝180/3.1415…＝57.3くらい。

近似を使うことによって、同じ計算をするこという結果になった。

ちなみにより細かくだと

1ラジアン＝57.2957795°

であり

tan89°＝57.2899616

ということらしい。

何とも不思議な数学の世界である。