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数検1級を受験しました。

大澤裕一

このnoteでは、私が数検1級の受験を思い立ったところから、2022/07/24(日)の数検1級の受験、合否発表までを冗長に記述します。数検1級に興味のある方、受験予定の方で、お暇な方はご笑覧ください。特に、いま数学の先生をやっていて、数検を受けたい人には参考になる部分が多いかもしれません。

数検1級の概要は次の通りです。



１．受験の動機

私は、高校生に数学を教える仕事をしております。この仕事を1997年から始めて、25年経ちます。高校数学を教える中で自分が学ぶことも多いのですが、先生業はどうしてもインプットよりもアウトプットの方が多くなりがちです。そういう状況の中で「新しいことを学びたい」「忘れていることを学び直したい」と言う思いを強く抱くようになりました。また、最近の高校数学の統計強化の流れや「情報」の必修化などもあり、統計を勉強し直そう、とも思っていました。そういうこともあり、2021年末から、むぐれしあさん（@Mgreshia4）が主催される「むぐむぐ勉強会」（Discordサーバー上でのオンライン勉強会）に参加しました。仕事や家のこともあり、多くの会には参加できないので、とりあえず主に群論と整数論の勉強会に参加しています。これらの分野は純粋に面白く、また私の授業や執筆活動の参考になることが色々学べると思うので、毎回のゼミが本当に楽しみです。このような思いを持つ中で、「数検1級を受けたい」と考えるようになりました。数検1級は大学1,2年生の内容が中心であり、また統計の初歩も試験に含まれるので、ちょうどよい機会だな、と思って、受験することにしました。久しぶりに制限時間のある試験を受ける、という点も楽しみでした（勘が鈍っていそう…）。

２．受験勉強を開始

仲間を募って、グループを作って、5月下旬から勉強を開始しました。この手の検定試験・資格試験の勉強は、個人で学ぶよりもチームでやる方が、教え合ったり情報共有が出来たり相互に刺激を与えあったりして、効率がアップする、と考えたのです。仲間の皆さんには、この場を借りて御礼を申し上げます。

３．6月～7月上旬は主に１次試験対策（長文です）

まずは1次対策、ということで、以下のサイトの問題・解答を利用してみんなで演習しました。私は、はじめから過去問を解き、弱いところ・足りないところを単元別に確認する方針で行くことにしました。到達点をベースにすることで、「今の自分に何が足りないか」が明確になり、今後の計画が立てやすいと思ったからです（ある程度、力が無いと厳しいかもしれませんが）。いわゆる「対策本」も購入したのですが、ほぼやりませんでした（実はこれが、試験本番において重大な影響を与えるのです…）。

問題により、かかる時間が様々です。ほぼ一瞬で終わってしまう問題もあれば、それなりに面倒な問題もあります。5月下旬の段階で感じたことは、「行列式の計算問題でやや面倒なものがときどきあるなあ」です。私は、学生時代に行列式をたくさんやったわけではない（4×4以上はあまりやっていない）ので、サイズが大きい行列式の計算については、ある程度練習しないといけないな、と思いました。私が知らない公式もいくつかありました。例えば、$${A,B}$$を$${n}$$次正方行列として、
　　　$${\det \begin{pmatrix} A & B \\ B & A  \end{pmatrix} = \det(A+B) \det(A-B)}$$
　　　$${\det \begin{pmatrix} A & -B \\ B & A  \end{pmatrix} = \det(A+iB) \det(A-iB)}$$
などです（私が勉強不足である可能性も十分にあります）。これら自体は簡単に導けますが、これらを「公式として」用いたことは無かったような気がします。
あと、「やや複雑で時間がかかる（+運ゲーの要素もある）因数分解の問題」もしばしば出題されていて、練習の必要性を感じました。

はじめは、重積分、極限、微分方程式の問題をみんなで出し合い、解いていました。重積分は普通の累次積分・変数変換系・体積系・表面積系など、極限はマクローリン展開で出来るものが多いですね。微分方程式は、マニアックな変換をするものもあるのですが、私はその辺の勉強をサボって、基本的なもの（$${y''-6y'+9y=6e^{3x},y(0)=1,y'(0)=5}$$とか）ばかりやっていました。私が見た範囲では、テクニカルな変換をする微分方程式の出題頻度は低いように感じられたからです（そんなにたくさん見たわけでは無いですが）。実は、このことが試験本番に響いてくるのです…。

無限級数の収束判定法（ダランベールの判定法、ライプニッツの交代級数定理）、収束半径の求め方、色々忘れている…。1万年と2,000年ぶり？それとも、初めて学ぶ？？学生時代にもっと鼻血が出るくらい数学を学ぶべきだった、と、とても後悔…。ここを確認・演習するのにやや時間がかかりました。

確率統計（連続分布、同時分布、区間推定、検定など）については、学生時代にアクチュアリー試験対策の勉強をしていた（数学だけ合格した）ので、ある程度できると思っていたのですが、忘れていることが多く、思い出すのにいろいろ苦労しました。

項別微分（$${\displaystyle \Bigl( \sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)\Bigr)'= \sum_{k=1}^{\infty} f_k'(x)}$$）とか項別積分（$${\displaystyle \int_{a}^{b} \Bigl(\sum_{k=1}^{\infty} f_k(x)\Bigr)~dx= \sum_{k=1}^{\infty} \int_{a}^{b} f_k(x)~dx}$$）については、本当は「それが可能かどうか」を気にせねばならないわけですが、「どうせできるでしょ」という「大らかな」気持ちで、細かいことは全然気にせず項別微分や項別積分をやりまくっていました（数学の先生とは思えない態度！）。偏微分の順序交換も、積分と極限の順序交換も同様です。1次は短答式なので、これでも良いですが、2次試験は記述なのでこれではまずいですね…。

線形代数ですが、私の高校時代には「代数・幾何」というカリキュラムで行列・1次変換を（教科書では2次元まで、自分で3次元まで）きっちりやったので、忘れている項目は意外に少なかったです。高校生の頃に必死に学んだことはよく覚えているものです（大学生になって学んだことは忘れていることばかり…）。最近の大学生は、高校で行列・1次変換を学ばず、大学で初出なので、線形代数の学習に十分な時間がかけられず、とても可哀想な環境にある、と思っています。

6月中旬くらいからは、1次試験の問題を時間を測って解いたりしたのですが、これだと単元別の学習がしにくいと思い、途中から過去問の中から単元別に問題を分類し（とても時間がかかった！）、仲間と共有して演習しました。具体的には以下の通りです。

単元別a-1次
・複素数と指数・三角・双曲線関数
・マクローリン展開
・ポアソン分布（出題頻度は高くない。似たような問題ばかり）
・2変数の連続確率分布（少ない）
・偏微分（結構多い。計算量が多いものもある）
・線形代数（行列式やrankの計算以外のものを集めた）
・無限級数の収束

単元別b-1次
・整数（巨大数を〇〇で割った余りを求めよ、が多い…）
・因数分解（特定の文字について整理すれば出来るものが多いが、運ゲー要素を含む問題もある）
・解と係数の関係
・極限（マクローリン展開を知っていれば簡単になるものが多い）
・スターリングの公式関連
・行列
・3乗根関連（$${\displaystyle \sqrt[\large 3]{6+\sqrt{\frac{980}{27}}}+\sqrt[\large 3]{6-\sqrt{\frac{980}{27}}}}$$を求めよ、とか）
・二項定理
・無限和
・微分方程式
・重積分

正直、そこまで面白い問題が多いわけではないのですが、1次試験は7問中5問以上取らねばならないので、正確に解くための練習が必要不可欠、ということで結構やりました。行列式やrankの計算、偏微分やマクローリン展開の計算などは、実際にやってみるとなかなか時間がかかります。とは言え、慣れて行く中で徐々に所要時間を短くすることに成功しましたが…。

■$${\tan x}$$のマクローリン展開、今まであまりしたことが無かったのですが、
　　$${\displaystyle \tan x=x+\frac{1}{3}x^3+\frac{2}{15}x^5+\frac{17}{315}x^7+\cdots}$$
を覚えてしまいました。マクローリン展開の定義に基づいて各係数を求めるのは大変（$${\tan x}$$の高階の導関数を求めるのが面倒）なので、$${\cos x \tan x =\sin x}$$と$${\cos x,\sin x}$$のマクローリン展開を用いて$${\tan x=a_1x+a_3x^3+a_5x^5+a_7x^7+\cdots}$$（$${\tan x}$$は奇関数なのでこうおける）の係数を、次数の低いところから順に決定して行けば簡単に求まりますね。何度かやっているうちに記憶してしまいました（一般の$${x^n}$$の係数にベルヌーイ数が入ることは知っているのですが、記憶はしていません）。あと、$${\tan x}$$のマクローリン展開の奇数次の項の係数が全部正であることを、数検1級の勉強を通じて知りました。

勉強を進めると、試験範囲がとても広いことに呆然とすることもあります。そのときは、試験直前に「実力を伸ばしまくった姿」を想像してみるとよいです。そして、そこに向かって努力するのです。「なりたい自分」になるための努力は、多少大変でもモチベーションを持って出来るはずです。また、仲間と一緒に勉強すると、互いに教え合ったり励まし合ったりすることで、学習面も精神面も大崩れすることが無くなります。

数検の勉強やむぐむぐ勉強会を通じて、数学で新しいことを学ぶ楽しさを改めて実感しました。教えるのも楽しいのですが、学ぶこともとても楽しいです。

数検1級は、目安となる学年が「大学程度・一般」であり、実際大学1,2年で学ぶ数学が多いのですが、大学受験数学のようなものも結構多いです。私は、大学受験数学を解くことは一応得意（？）なので、その部分では苦労しませんでした。大学受験で出題される数学（整数、多項式、複素数、場合の数と確率、極限、微積分など）も必要に応じて演習しておくと良いでしょう（難問は出題されることはほぼないですが、慣れていないと解きにくいかもしれません）。あと、整数問題ではオイラーの定理を知っているとスムーズに解ける問題が出題されています（整数$${a}$$、自然数$${n}$$が互いに素のとき、$${ a^{\phi (n)} \equiv 1~({\rm mod}~ n)}$$。$${n}$$が素数のときは$${\phi (n)=n-1}$$で、この定理はフェルマーの小定理になる）。

対策本に書いてある、細々としたことをすべて覚える必要は無いと思いました（このときは）。例えば、対策本には無限級数の判定法が色々載っていますが、過去問を見る限り、ダランベールの判定法とライプニッツの交代級数定理だけを知っていれば大丈夫なような気がしました。

非統計分野が一通り終わったところで、統計分野（信頼区間とか検定とか）の演習に移行しました。問題文は長いけど、難易度は高くなさそうです。ただ、信頼区間や検定は1次試験での出題はほぼなく、一方で2次試験の選択問題でよく出題されるようであり、「じゃあ、あまりやらなくて良いかな？」（2次では選択しなければ良い）、と考えてしまい、最低限だけやってあまり演習しませんでした。

ちなみに、6月上旬の段階では数検1級2次の難易度のイメージが全然できていなかったので、対策本を購入して演習しようと思ったのですが、その本は7月中旬まで開きませんでした。一方で、昔から知っていた以下の問題（難しいと思われる）をツイッターに投稿したのですが、これが数検1級2次でも出題されたことがある（誘導付き）、と言う話を聞いて、「結構難しい問題を出題するんだなぁ」と思いました（実際の試験では母関数の誘導がついていました。誘導がついていればそこまで難しくないか？？）。

本問の解答などについては、以下をご参照ください。

母関数は数列・和・場合の数の分野だけでなく、確率論でも登場する（確率母関数、積率母関数）ので、じっくり慣れると色々な学びに繋がって良いです。なお、母関数については、以下のサイトの解説が分かりやすいです。


４．２次試験対策は7月中旬から（十分な時間が取れなかった）

タイトルの通りです。2次対策を開始するのが遅くなってしまいました。しかも、7月中旬は仕事が忙しく、数検対策に十分な時間が取れませんでした。試験は2022/07/24(日)です。やばい…。まあ、試験時間が120分、問題数が4問だから、必死に考えれば何とかなるのでは？と軽く考えていました。

2次の過去問集からいくつか問題を解いてみたのですが、結構難しいです。線形代数がらみのやや難しい問題も多く、ちょっと焦りました。「やばい。落ちるかも？」。仕事前後の時間で、若干の問題演習と線形代数の復習をするのが精いっぱいでした。

2018年秋の2次の改題のツイートを1つ挙げておきます。解けますか？


５．試験前日・当日

試験前日になって、やっと筆記用具やらコンパスやら電卓を購入しました。筆記用具とコンパスはcando（100円ショップ）で、電卓（関数電卓）はビックカメラで購入しました。関数電卓を購入するのは生まれてから2度目です。1度目は大学1,2年の基礎実験で使うときで、5,000円以上したと思うのですが、今回購入したものは1,000円程度でした。25年で価格がそこまで下落するとは…。

横浜への移動中の電車内で撮影。試験前日も夜に仕事があったのでした。


いよいよ試験当日（2022/7/24(日)）。試験が午後（1次：13:10-14:10(60分)、2次：14:40-16:40(120分)）なので、早起き不要で良かったです。会場は池尻大橋の東京栄養食糧専門学校でした。自宅からとても近くてラッキーでした。昼前に池尻大橋の駅の近くの喫茶店に入り、昼食をとりながら最終確認をし、いざ会場へ。

数検1級の受験者は、数検準1級の受験者と同じ教室での受験でした。数検1級の受験者はおそらく15人程度で、残り30～40人くらいは準1級の受験者でした。準1級の受験者は他の教室にもいて、1級の受験者は他の教室にはいなかったようなので、1級の受験者はとても少ない、ということですね。

久しぶりの筆記試験。最近はアップルペンシルばかり使っている（仕事も数検対策も）ので、シャーペンや消しゴムを久しぶりに使いました。いやー、使い方がとても下手くそになっていました（笑）。「何度か書き直し」を何度もしてしまいました。私のように、久しぶりにシャーペンと消しゴムを用いる人は、例えば試験3日前くらいから、シャーペンと消しゴムの使い方に慣れる練習をしておくと良いかもしれません。

で、肝心の試験ですが…。

1次試験：
60分のうち25分で7問全てを解き、残り35分で見直し。見直しは3回くらいしましたかね。別方針で解けるものは、可能な限り解きました（重積分の計算を「変数変換して計算する」のと「そのまま計算する」の2通りでやる、とか）。いつも生徒に「見直しは入念にしましょう。見直しも含めて"問題を解く"です」と言っているので…。出来はおそらく7点/7点中です（1問=1点）。

2次試験：
必須問題が第6問（線形代数（シュミットの直交化法+行列のQR分解））と第7問（微分方程式）でした。前者は解けましたが、後者が全然わからない…。やばい。4問中2.5問以上取らないと合格にならないので、この時点で選択問題の2問は満点を取らないとまずい、という状況になりました。結構焦りますね。選択問題では、複素数の問題（第2問）と確率の問題（第5問）を解きました。どちらも早い段階で答を出せたのですが、答になかなか確信が持てず、何度も解き直しをしました。答案用紙にいきなり書く、ということは（当然ですが）せず、一通り解いてから清書しました。
3問の答案を清書した段階で残りあと20分、微分方程式の問題と必死に格闘したのですが、結局解けず、その部分はほぼ白紙で提出することになりました。出来はおそらく3点/4点中です（1問=1点）。

後から知ることになりますが、この微分方程式はベルヌーイ型の微分方程式と呼ばれるもので、ある特殊な変形が必要です。たいていの対策本では扱われているようで、私と一緒に受験したLさんは解けていたようです。また、SNSを見る限り、他の受験生も本問を解いた人が結構いました。「ああ、対策本をサボったせいで出来なかった…」満点合格を狙っていたので、とても悔しい思いをしたのでした。

この後は、数検1級の受験仲間たちと表参道で集合して、お互いの労をねぎらい、楽しい打ち上げをしたのでした。

６．試験後から合格発表まで

2022/08/04(木)に解答が発表されました。出来は、自己採点と同じ、1次：7点/7点中、2次：3点/4点中でした。1次はまあ通ったでしょう。2次は記述部分で減点されていなければ合格のはず。2.5点を下回らないことを祈るばかりです。

そして、2022/08/17(水)に合格発表がありました。結果は…。

という感じで、とりあえずホッとしました。点数の詳細については、後日郵送されてくるようです。追ってお伝えします（おそらく上記の自己採点の通りだと思いますが…）。

[追記(2022/9/6(火))]
2022/9/5(月)に合格証と個別成績票が送られてきました。数検協会の告知では、8/26(金)に送付予定だったはずなのですが…。

これで、私の数検1級チャレンジは終了です。今後は、数検1級を受験する方に対し、何かしらの形でアドバイスをしていきたい、と思います。また、次は統計検定1級（2022/11/20(日)実施）を受けようと思います。2022年11月に統計検定1級を受験予定の方、一緒に（？）頑張りましょう！

[追記(2023/1/1(日))]
統計検定1級の受験については、以下をご参照ください。

[追記(2024/4/8(月))]
統計検定1級（2回目）の受験については、以下をご参照ください。


７．参考書

数検1級の対策として、以下の3冊を購入しました（間違って購入した準1級向けの参考書を除きます。表紙の「準」の字が小さいので、つい買ってしまった…）。ただ、私はこれらの参考書はあまりやっていません。1次対策については過去問の演習が中心、2次対策はほぼ時間をかけられなかったから、です。

(1) 実用数学技能検定1級「完全解説問題集」発見―数学検定

(2) 完全ガイド！　数学検定1級　出題パターン徹底研究

(3) 数検１級をめざせ―大学初年級問題解法の手引き

(1)には、過去7回分の1次・2次の問題が掲載されています。2次対策のために購入したのですが、2次対策にあまり時間が取れず、結局2次対策は2回分くらいしか出来ませんでした。もったいない…。真似してはならない勉強法です。
(2)は、仲間と問題を出題し合うときに使った程度で、自分の演習用にはあまり用いませんでした。もったいない…。
(3)は、パラパラめくった程度です。問題集というよりは、問題解説の読み物と言う感じです。

８．最後に

私は、数学が一応得意（？）で、かつ数学の先生を長年やってきた人なので、数検1級の受験がそれほど大きなハードルでは無かったかもしれません。そのため、このnoteは、普通の学生が数検1級を受けるときの参考にはならない可能性があります。一方で、私のような「インプットを求める数学の先生」には、参考になる部分もあるかと思います。数学の先生で「最近、制限時間内での試験を受けていない」「新しいこと（忘れていることを含む）を学ぶ、と言うことから遠ざかっている」「試験勉強というものを久しくしていない」「生徒が受験勉強や試験を受けるときの気持ちを再体験したい」という方には、数検1級は（手軽に受験できる、という点で）オススメです。ぜひ受けてみませんか？（私は数検協会の回し者ではありません笑）


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