{2k}C{k}*{2n-2k}C{n-k}(k=0,1,2,…,n)の和

難しい（！？）和の問題です。ツワモノは挑戦してみてください！ pic.twitter.com/riOhAxPZes

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 31, 2022

大澤はこの問題を、2009年12月に知りました。当時、東工大3年生（元生徒）から質問されたのでした。この問題のことを思い出し、ツイッターに投稿したところ、多くの方から色々な方針での解答や本問に関する情報をお寄せ頂きました。この場を借りて厚く御礼を申し上げます。以下に、そのツイートを引用します。本問をじっくり考えた上で、以下をお読みになると良いと思います！

解答例です。C(2m,m)の母関数が(1-4x)^{-1/2}であることを用います。（組合せ論的な解法があれば教えてください！） https://t.co/3dc7YLo6Dw pic.twitter.com/LvC9pYN7cS

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) June 1, 2022

4年ぐらい前の数学検定（1級）の問題です。 pic.twitter.com/uDYh46ivAl

— くーさんまーさん (@kuusan_maasan) June 1, 2022

(3)はこんな感じですかね？ pic.twitter.com/oG2x6sRJSY

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) June 2, 2022

そうですね。
協会発表の公式模範解答をあげておきます pic.twitter.com/4RvqDe9ABz

— くーさんまーさん (@kuusan_maasan) June 2, 2022

組み合わせ論＆帰納法でなんとかする方法をまとめました。

帰納法に頼っているのが妥協点。でも，もう，僕眠くなってきちゃったよ...... https://t.co/wvVIGj9KOG pic.twitter.com/EvjXoKBgz8

— 林 俊介 / "100年前の東大入試数学" 発売中 (@884_96) June 1, 2022

世の中広いもので，こんなページがありました。↑ はその内容の一部をまとめたものです。https://t.co/GNSWYDkt52

— 林 俊介 / "100年前の東大入試数学" 発売中 (@884_96) June 1, 2022

引用リツイートの問題の母関数を利用しない方法です。高校数学の範囲内です。（S_nをS_i（i=0,1,2,…,[n/2]で表して考えます）

山田どあ（@YamadaDoor）さんに教えて頂きました。有り難うございました。 https://t.co/3dc7YLo6Dw pic.twitter.com/TlqOxDYgXf

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) June 2, 2022

こんな解法はどうでしょう！？ https://t.co/YUZI8K9ARx pic.twitter.com/eKPTybR5wv

— 大島学習塾 (@oshima_juku) June 2, 2022

負インデックスの二項係数を導入すれば式変形で楽に示せますね。https://t.co/2Xk270CJfH pic.twitter.com/3o7SZPjMsz

— Yusuke Terada (@doraTeX) June 2, 2022

純粋に組合せ論的な証明法は，この論文（さらに3つの積に一般化したものも含む）にあるようです。 https://t.co/93y11MFieO

— Yusuke Terada (@doraTeX) June 2, 2022