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フェルマーの小定理、ウイルソンの定理の円順列を用いた証明

大澤裕一

[フェルマーの小定理]
素数$${p}$$および$${p}$$の倍数でない整数$${a}$$に対し、$${a^{p-1} \equiv 1 \pmod p}$$

[ウイルソンの定理]
素数$${p}$$に対し、$${(p-1)! \equiv -1 \pmod p}$$

上記の定理の証明は色々知られていますが、ここでは円順列を利用した証明を紹介します。以前のツイートと、それに対して頂いた代表的なリプライを引用します。リプライをくださった皆さまに厚く御礼を申し上げます。

１．フェルマーの小定理

定理を言い換えて、以下を証明します。
「素数$${p}$$および正の整数$${a}$$に対し、$${a^{p} \equiv a \pmod p}$$」


２．ウイルソンの定理

定理を言い換えて、以下を証明します。
「素数$${p}$$に対し、$${(p-1)! \equiv p-1 \pmod p}$$」


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