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「難しい」定積分の問題

大澤裕一

[問題]
$${|a| \neq 1}$$のとき、$${\displaystyle \int_0^{\pi} \log(1-2a\cos x+a^2)~dx}$$を求めよ。

原題は東工大の編入試験あるいは院試の問題のようです（原題には$${|a| \neq 1}$$という仮定はありませんでした）。ツワモノはぜひ考えてみてください。高校数学の範囲で解けます。略解は次の通りです。

区分求積法と複素数（1の累乗根）を利用するところが面白いですね。
■$${|a|=1}$$のときは、この積分は広義積分になります。この場合を除外するために、仮定に$${|a| \neq 1}$$を追加したのでした。



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