スコア関数を用いた期待値の計算
幾何分布の期待値を「スコア関数（logP(X=x)をパラメータで微分したもの）の期待値=0」を利用して求めました。無限和を計算することなく、簡単に求まります。
他の指数型分布族（二項分布、ポアソン分布、正規分布、ガンマ分布など）でも同様の計算ができます。ぜひやってみてください！
幾何分布の期待値を「スコア関数（logP(X=x)をパラメータで微分したもの）の期待値=0」を利用して求めました。無限和を計算することなく、簡単に求まります。 pic.twitter.com/WTKXmKvqb6
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) May 31, 2023
参考までに、コメントを下さった黒木玄先生（@genkuroki）の引用ツイートも掲載します。
#統計 #数楽 その辺の計算は
— 黒木玄 Gen Kuroki (@genkuroki) June 1, 2023
指数型分布族(=等確率の原理を仮定しているとは限らない場合のカノニカル分布)については、分配函数で期待値、分散、モーメント母函数、キュムラント母函数を表せる
とまとめることができます。
指数型分布族は非常に特殊なので多くの計算が易しくなる。 https://t.co/dF4PbOxYnL pic.twitter.com/LR5CRCWTfn