log(cos(x))の定積分
[問題]
次の定積分の値を求めよ。
$${\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\cos x)dx}$$
$${\displaystyle x=\frac{\pi}{2}}$$のとき$${\cos x=0}$$なので、この積分は広義積分です。この広義積分が収束することは認めて良いこととし、この定積分を求めててみてください。高校数学の範囲で解けます（ちなみに、この広義積分が収束することも高校範囲で示せます(このnoteの一番下に掲載した立命館大(2019)の入試問題を参照してください)）。解答・解説は、以下のツイートの下にあります。
この積分、広義積分ですが、積分の存在（収束性）を認めれば高校範囲で値を求めることができます。考えてみてください！ pic.twitter.com/z8X1z8nb4R
— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) October 28, 2024
[解答・解説]
まず、以下の等式が成り立つことを確認します。
$${a}$$を正の定数とし、$${f(x)}$$を$${0 \leqq x \leqq a}$$で連続な関数とする。
(1) $${\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx=\int_{0}^{a}f(a-x)dx}$$
(2) $${f(x)=f(a-x)~(0 \leqq x \leqq a)}$$のとき、
$${\displaystyle \int_{0}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{\frac{a}{2}}f(x)dx}$$
(1)については、2曲線$${y=f(x),y=f(a-x)}$$が直線$${\displaystyle x=\frac{a}{2}}$$に関して線対称であることから、その成立が分かります（次図を参照）。いわゆる「King Property」と呼ばれる性質ですね。式できちんと示すのであれば、左辺の定積分を$${x=a-t}$$と置換して計算すれば良いです。
また、(2)については、仮定が「曲線$${y=f(x)}$$が直線$${\displaystyle x=\frac{a}{2}}$$に関して線対称」であることから、その成立が分かります（次図を参照）。式できちんと示すのであれば、左辺の定積分を$${\displaystyle \int_{0}^{\frac{a}{2}}f(x)dx+\int_{\frac{a}{2}}^{a}f(x)dx}$$と分け、2個目の定積分を$${x=a-t}$$と置換して計算すれば良いです。
では、この問題を解いていきましょう。
まず、(1)より$${I}$$は$${\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)dx}$$つまり
$${\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin x)dx}$$
に等しいことが分かります。これを$${J}$$と置きます。
次に、$${I+J (=2I)}$$を計算します（この手の問題でよくやる計算です）。
$${\displaystyle 2I=I+J=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\cos x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\sin x)dx}$$
$${\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\log(\cos x)+\log(\sin x))dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log(\cos x\sin x)dx}$$
$${\displaystyle =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log \left(\frac{\sin 2x}{2}\right)dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\log (\sin 2x)-\log 2)dx}$$
∴$${\displaystyle 2I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\log (\sin 2x)dx-\frac{\pi}{2}\log 2}$$…①
右辺に、$${I}$$と似た定積分が現れましたね。これを考えていきましょう。
①の右辺の定積分を$${K}$$とし、$${K}$$において$${2x=t}$$と置換すると、
$${\displaystyle K=\int_{t=0}^{t=\pi} \log (\sin t) \cdot\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log (\sin x)dx}$$
です。
また、$${\displaystyle \sin x=\sin (\pi -x)}$$（つまり、曲線$${y=\sin x}$$は直線$${\displaystyle x=\frac{\pi}{2}}$$に関して対称）です。
これより、(2)を用いることで、上の定積分は
$${\displaystyle K=\frac{1}{2} \cdot 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x)dx =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log (\sin x)dx}$$
となります。これは、$${I}$$そのものですね。
以上より、①は
$${\displaystyle 2I=I-\frac{\pi}{2}\log 2}$$
となります。これを$${I}$$について解いて
$${\displaystyle I=-\frac{\pi}{2}\log 2}$$
が得られます。
[参考]
立命館大(2019)の入試で、関連する問題が出題されました。
