【DeFi】　トークンの価格変動に伴うLPの価値変動を数式で表す（変動損失について考える）

はじめまして、イケハヤ仮想通貨ラボ（ICL）で仮想通貨、DeFiを勉強中のhiisunと申します。

はじめに

PancakeSwapやAlpacaFinanceなどにおいて、ファーミングの際に同価値の2つのトークンをセットにして市場に流動性を提供します（LP：Liquidity Provider）が、LPの価値変動や変動損失（インパーマネントロス）を意識することは、投資効率を高めるうえで欠かせないと思います。

せっかくファーミングで利益（金利収入）を得ても、LPの価値が下がるとLPの解体時に利益が減ってしまうからです。
（例えば、AlpacaFinanceのファーミングはポジションクローズ時に必ずLP解体を伴います）

どういうときにLPを組んでファーミングを開始すると、より効率的なのかについて考えてみたいと思います。

そのためには、狭義の変動損失よりも、LPの価値変動への理解がより実用的だと思います。

トークンの価格変動に伴うLPの価値変動を数式で表し、変動損失の概念に対する理解の助けになればと思います。

１．価格変動後のLP価値とトークン枚数の変化　（結論）

市場にAとB２つのトークンの流動性を提供するとします。

その後Aの価格がα倍、Bの価格がβ倍に変動したとします。

結論を先に述べますと

（１）LPの価値は √(α×β) 倍になります。

（２）Aの枚数は √(β÷α) 倍に、Bの枚数は √(α÷β) 倍になります。

２．式の証明を行う

流動性提供を行う際

LPの定義（ルール）

１） ２つのトークンは等価値にする

２） ２つのトークンの価格変動前後の枚数の積は変わらない

というのが決まりです。

式の証明を行う際のパラメータ設定を行います。

トークンAの価格をPa、トークンBの価格をPb

流動性を提供するときの枚数をそれぞれNa、Nbとします。

１） のルールから　Pa×Na=Pb×Nb　・・・①

つぎにAの価格がα倍、Bの価格がβ倍になったとします。

枚数はそれぞれNa’枚、Nb’枚になったとします。

１） のルールから　αPa×Na’=βPb×Nb’　・・・②

２） のルールから　Na×Nb=Na’×Nb’　・・・③

①の式を変形して

　Pa=Pb×Nb / Na　・・・④

　Pb=Pa×Na / Nb　・・・⑤

③の式を変形して

　Na'=Na×Nb /Nb'　・・・⑥

　Nb'=Na×Nb /Na'　・・・⑦

⑤をと⑦を②の式に代入して

　αPa×Na’=β(Pa×Na /Nb )×((Na×Nb)/Na’)

整理して　α(Na’)^2=βNa^2

∴Na’=√(β/α)×Na　・・・⑧

同様に

　Nb’=√(α/β)×Nb　・・・⑨

これで冒頭の結論（２）が証明されました。

また、LPの時価総額はもともと　Pa×Na＋Pb×Nb　です。

価格変動後の時価総額は　αPa×Na’＋βPb×Nb’です。

⑧と⑨を入れて整理すると

　√(αβ)(Pa×Na＋Pb×Nb)　

となります。

つまり価格変動後の時価総額が √αβ 倍になるということで結論（１）が証明されました。

３．式が見やすいように

Wordで記入したものをスクショして載せてみます。

さいごに

難しい式はDeFiを楽しむのに必要とは思いません。

私はお金を増やすために、理論への一定の理解は必要と思っています。

自分の体感と理論が一致しているか確認したくて、このような記事を書いてみました。

数式が非常に読みにくくて申し訳ありませんでしたが、最後までお読みいただきありがとうございました。