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掛け算の順序について　小学生、保護者、小学校の先生向けに

ガラパゴさん

巷で炎上しやすい掛け算順序の話題ですが、私個人の意見を先に書きます。

掛け算の順序を【採点基準に組み込む】のは反対

ちなみに、被乗数を"感覚的に"とらえることは大切なことだと考えています。式の順序で徹底することではないよね！というスタンスです。

以下、順に論じていきます。

1 掛け算順序の単元構想について

最初に足し算の概念を拡張して累加として、かけられる数×かける数　を掛け算と定義します。具体的には、

2＋2＋2=2×3≠3×2＝3＋3

と定義します。(厳密には仮定ですけど)これにより、3羽のウサギの耳の数は

2×3 が正解となり、3×2は不正解となります。

すごくモヤモヤするので具体的に考察していきます。

ポイントその1

仮に単位(本当は数助詞)を意識したとしても

2匹×3本/匹=6本　

も　

３本/匹×2匹=6本　

もどちらも正解でしょう。

ポイントその2

3×2は不正解の理由として、かけられる数×かける数　に基づくと　

ウサギの耳が3本ということになってしまうよ！という謎指導

が実際に存在します。これは、かなり不適切な指導です。3×2と書いた子もそんなことは想像していないことでしょう。

かけられる数×かける数　という定義からして本当にかなり疑問です。

ちなみに、順序にこだわったとしても

右耳3   左耳3   耳3個を「かけられる数(塊の数)」として　3×2=6  でも十分成り立つことでしょう。

もっと言えば、算数数学は目的に応じて一般化したり、抽象化したりするわけだからこの場合

数えるという目的に対して、耳3本のウサギを想定して何が悪い👎

くらいの反論はしておきたいところです。

2 発達段階について

このような話をすると、発達段階を考慮しましょう！という反論があるのでそれについて論じてみます。よく言われるのが、

適当に数字かけているだけなのはよくない。そのための順序指導だ。

とか

低位の子は、問題の意味が理解できていない。国語の読解力指導や状況把握を兼ねての順序指導だ！

といったものです。

ポイントその1

適当に数字をかけて答えが出てくるならそれは算数数学として、どんどん適当にかければいいと思います。(実際交換法則が成り立っているわけだから)算数数学は、便利さ、シンプルさを追求すべきなので適当にやって答えが出るのなら

その問題は、それで良いでしょう。

ただし、考え方が重要なのは当たり前なので、これやってみて？　と

適当にやったら、答えが出ない問題を例題にすればそれでよいかと。


ポイントその2

低位の子は、ワーキングメモリが小さいのでさっさと交換法則を教えてあげてください。順序を徹底したら、今度は交換法則を受け入れることが難しくなります。また、ミカンとリンゴの区別が怪しい子に順序指導など無駄です。リンゴとミカン渡して並べさせるなど実体験を増やす活動をすべきです。

3 掛け算の理解度測定のための順序指導

指導の理解度を順序で看取るという意見があります。絵や図などで総合的に看取るならまだしも、順序だけで理解度を測定することなど不可能です。例を挙げてみます。

仮に正しい(とみなされる)順序を理解したと見立てるなら、正しい順序を書いたけど理解してない子をスルーすることになります。そもそも2択の順序が守れているかどうかは、確率で言えば50%です。精度50%の理解の見取りでは、余りに雑であると言わざるを得ません。

3 数学的に順序には意味があるという主張

これが、一番厄介ですがよくある話として行列の非変換をあげる方がいます。

そもそも自然数の話をしているので、行列で困ることはありません。高校3年生大学生でになった時に、

おお！小2の時の順序指導のおかけで行列でつまずかなかったぞ！


とはならないと思います。

ついでに言うと、対角化された単位行列の実数倍を自然数とみなせば、行列だとしても可変です。

また、ペアノの公理を持ち出す人もいます。ペアノの公理とは、自然数の定義から始めて数の公理系をつくる方法ですが1＋1=2 の証明の話題によく引き合いに出されます。

小2の話にペアノの公理とは、恐れいりますが、そもそも自然数の話をしていますのでペアノの公理で組み立てられた範囲では自然数の積の交換法則など自明としかいいようがありません。

４ 代案として

そうは言っても文句ばっかりではいけないので代案を示そうと思います。

１限目　みかんの数を数えよう

１０個のミカンを４人程度の１班に渡します。

きれいにならべてみてね。


と発問します。

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もありですし、

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もいいですね。

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も綺麗ですね。

ヤンチャな子は

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とか、上に乗っけ始めるかもですね。それもまた、楽しくて良いと思います。

さて

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を取り上げて

１＋２＋３＋４

と書きます。

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には、２＋２＋２＋２＋２　と書きます。

また

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には、５＋５と書きます。

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を取り上げて

掛け算は×の記号を使って表すよ。

2×5=5×2

意味は今やった通りだよ。

みたいな方向性ではどうかなと思います。ただ、小学校低学年の児童への指導はとんでもなくたいへんなことも理解しています。

1 2 3の"2の次の数"としての"3"

と

〇〇〇が同じ"3"であることが分かってない子もいます。

外国籍の子にいたっては、みかんとりんごという言葉もあやしいでしょう。

児童によっては、鉛筆を使えない子もいることでしょう。私にとって小学校低学年の指導は相当なスキルが必要です。

だからこそ、小学校の先生には掛け算の順序なんかにこだわるんじゃなくて気持ちよくおはじき数えたり、みかんを数えたりしながらゆるーく楽しく勉強に取り組んで頂けたらと思っております。

長くなりましたが最後まで読んでいただきありがとうございました。

おまけ。

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