E判定から1年で農工大を突破した、数学の問題に取り組む万能の考え方

どうもこんにちは。おやこどんです。
この記事では数学の問題を解く際に必要な考え方についてまとめていきます。
筆者は1浪して農工大に入学しました。現在も塾講師として数学を教えており、数学力には多少の自負があります。
数学力について困っている人などがこの記事を読んで少しでも思考がいい方向に向いてくれたら幸いです。

１.　「著書: いかにして問題をとくか」について

「いかにして問題をとくか」は私が高校生の頃に数学の先生からおすすめされた本です。ポリアという教授が書いた本で、数学に限らず色々な問題に対してどう考えるのかが載ってる本です。この中から自分が特に重要だと思ったものについて紹介していきます。（この記事はPRなどではありません)

２．見たことある問題に落とし込む

ある問題を見たときに、それが分からなかったら前にそれを見たことがないか、または少し違った形で見たことがあるかを考えるとよいです。端的に言うと、試験時間の中で見たことがない問題を0から考えて解き切ることはほぼ不可能であると考えています。そのため似た問題を思い出し、それと同じところ、異なるところを認識するということが大切になってきます。
簡単な例を挙げてみます。
f(x)=x^5+2x^3という関数があったとして、これの極値を求めよという問題があったとします。初めにこの問題を見たときに、

「5乗とか見たことがない→解いたことがない→無理」
となるのではなく

「5乗とか見たことがない→3乗ならといたことがある→その時微分したな→じゃあ5乗に対しても微分してみよう」
このような思考の流れになるのが望ましいです。

このような思考になるためには「3乗なら解いたことがある」という経験が必要になります。つまり、もとになる考え方となる問題を解いた経験が必要というわけです。

人によってどれくらい似た問題の時に新しい問題に適応できるのかは違います。先ほどの例でいうと、「4乗なら解いたことがある」という経験がないと解けない人もいるかもしれません。そこは人それぞれですが、演習量により元となる経験をたくさん積めばそこはカバーできます。

２．すべての条件を利用したかを確認する

問題を解いていて、行き詰ったり、出た答えが正しいかを確認するときに
、その時点で問題におけるすべての条件を用いたかどうかを確認することが大切です。もし、すべてを使っていないのであれば条件をすべて使い切る必要があると分かりますし、すべて使っているのであれば方向性があっているということが分かります。これも例を用いて説明します。
定数aが含まれている関数f(x)があり、その最大値と最小値を求める問題がるとします。その時に結果に定数a、すなわち条件が含まれているのかどうかを確認するべきです。そうでないと問題文のaは含まれる必要性がないことになってしまいます。

３．具体的なものを考えてみる

前提として、数学は抽象的なものです。関数や数列は具体的な集合どおしの関係性を示すもので、ぱっと見よくわからないものです。全体がよくわからないものに対して、「ここならわかる」というものを見つけてそ個から考えていくことが、全体を理解することに繋がります。例を用いて説明します。
数列an={n/(n+1)}+1　a1=c+1という数列があるとします。
一見するとよくわからない数列ですがこれにn=1,n=2,n=3を代入すると、a2=(2/c)+(3/2), a3=(c/3)+2, a4=(c/4)+(5/2)ということが分かります。すると、一般項はan=(1/n)+(n+1)/2と分かります。
このように、一見文字nが含まれて理解しにくいものでも具体的なものを考えることで全体が見えてくることがあります。
大事なのは具体⇔一般を行き来することです。　

おわりに

ここまで読んでくれてありがとうございます。[いかにして問題をとくか]という本は私が受験生時代に元となる考え方を作ってくれた本であり、数学の問題を解くうえで必要不可欠でした。この本の中でも重要で実践に移しやすいものをここで紹介しました。より詳しく知りたい方はぜひこの本をとってみてください。この記事により少しでも数学への向き合い方が見えてきた人がいたら幸いです。