２階常微分方程式の解法

忘れた頃にまた現れる。その度にどうやったかな､となるのでここに記す。

１ 斉次２階常微分方程式の場合

$${\bm{{y''}+a{y'}+by=0}}$$　(a)
　$${y=e^{\lambda x}}$$とおいて代入する → $${{y'}=\lambda e^{\lambda x},    {y''}=\lambda^2 e^{\lambda x}}$$
　$${\lambda^2 e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0}$$
　$${e^{\lambda x}}$$で割って
　$${\lambda^2+a\lambda+b=0}$$（特性方程式）　$${\lambda=\lambda_1,  \lambda_2}$$
(i) D>0 のとき
　得られた$${e^{\lambda_1x},   e^{\lambda_2x}}$$は一次独立（互いに定数倍にならない）なので
　基本解は$${y_1=e^{\lambda_1x},   y_2=e^{\lambda_2x}}$$である。
　よって一般解は
　$${y=C_1 e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}}$$（基本解の線形結合）
(ii) D=0 のとき　
　重解なので基本解は１つ（$${y_1=e^{\lambda_1 x}}$$）しか得られない。
　　（このとき $${\lambda_1=-\dfrac{a}{2}}$$(1-1)  ）
　そこで､もう１つの基本解を$${y=Ce^{\lambda_1 x}=Cy_1}$$として代入する
　　（$${y_1=e^{\lambda_1 t},   {y_1'}=\lambda_1e^{\lambda_1 t}}$$ (1-2) ）
　　→$${{y'}={C'}y_1+C{y_1'},     {y''}={C''}y_1+2{C'}{y_1'}+C{y_1''}}$$ (1-3)
　(1-3)を(a)に代入
　$${{C''}y_1+2{C'}{y_1'}+C{y_1''}+a({C'}y_1+C{y_1'})+bCy_1=0}$$
　$${C({y_1''}+a{y_1'}+by_1)+{C''}y_1+{C'}(2{y_1'}+ay_1)=0}$$
　　　　　　← $${{y_1''}+a{y_1'}+by_1=0}$$、 (1-2)を代入
　$${{C''}y_1+{C'}(2\lambda_1e^{\lambda_1 t}+ae^{\lambda_1 t})=0}$$
　$${{C''}e^{\lambda_1 t}+{C'}(2\lambda_1e^{\lambda_1 t}+ae^{\lambda_1 t})=0}$$
　$${{C''}+{C'}(2\lambda_1+a)=0}$$ 　　← (1-1)$${\lambda_1=-\dfrac{a}{2}}$$を代入
　$${{C''}+{C'}\Big\{2×\Big(-\dfrac{a}{2}\Big)+a\Big\}=0}$$
　$${{C''}=0}$$
　よって $${C=x}$$（$${e^{\lambda_1 t}}$$と一次独立な最も簡単な関数）
　もう一つの基本解は $${y_2=xe^{\lambda_1 t}}$$である。
　よって一般解は $${y=C_1e^{\lambda_1 t}+C2xe^{\lambda_1 t}}$$
(iii) D<0 のとき
　$${\lambda_1=\alpha+i\beta,     \lambda_2=\alpha-i\beta}$$とする。
　基本解は
　$${e^{(\alpha+i\beta)x}=e^{\alpha x} e^{i\beta x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x+i\sin\beta x)}$$　(1-4)
　$${e^{(\alpha-i\beta)x}=e^{\alpha x} e^{-i\beta x}=e^{\alpha x}(\cos\beta x-i\sin\beta x)}$$　(1-5)
　であるが、複素数なので(1-4)と(1-5)の和と差を基本解とする。
　$${y_1=\dfrac{(1-4)+(1-5)}{2}=e^{\alpha x}\cos\beta x}$$
    $${y_2=\dfrac{(1-4)-(1-5)}{2i}=e^{\alpha x}\sin\beta x}$$
　よって一般解は
　$${y=C_1e^{\alpha x}\cos\beta x+C_2e^{\alpha x}\sin\beta x}$$　　または$${y=Ae^{\alpha x}\cos(B x+C)}$$

２ 非斉次２階常微分方程式の場合

　$${\bm{{y''}+a{y'}+by=f(x)}}$$　(b)
 　(b)を満たす特殊解を$${y_*}$$とする。
　 $${y_*''+ay_*'+by_*=f(x)}$$　(b*)
　一般解は特殊解$${y_*}$$と同次形(a)の一般解$${y_1,   y_2}$$との和である。
　$${y=y_*+C_1y_1+C_2y_2}$$
　では、どうやって特殊解を見つけるか。
2-1 未定係数法
　$${f(x)}$$が
　　$${e^{ax}}$$(指数関数)なら､$${y_*=Ae^{ax}}$$
　　$${x^n+..}$$(べき関数)なら､$${y_*=A_1x^n+A_2x^{n-1}+…+A_{n+1}}$$
　　$${\sin ax,  \cos ax, …}$$(三角関数)なら､$${y_*=A_1\cos ax+A_2\sin ax}$$
　とおいて(b*)に代入し､各係数を決める。

　例１ $${y''-3y'+2y=4e^{-x}}$$ (2-1-1)
　　同次形($${y''-3y'+2y=0}$$(2-2-2))のときの基本解を求める
　　$${y=e^{\lambda x}}$$とおいて(2-1-2)に代入
　　$${\lambda^2e^{\lambda x}-3\lambda e^{\lambda x}+2e^{\lambda x}=0}$$
　　$${\lambda^2-3\lambda+2=0}$$（特性方程式）
　　$${(\lambda-1)(\lambda-2)=0}$$
　　$${\lambda_1=1,  \lambda_2=2 }$$、よって$${y_1=e^{x},   y_2=e^{2x}}$$（基本解）
　　特殊解を求める
　　$${y_*=Ae^{-x}}$$とおいて(2-1-1)に代入
　　　　（このとき$${y_*'=-Ae^{-x}}$$、$${y_*''=Ae^{-x}}$$）
　　$${Ae^{-x}-3(-Ae^{-x})+2Ae^{-x}=4e^{-x}}$$
　　$${A+3A+2A=4}$$、$${6A=4}$$、$${A=\dfrac{2}{3}}$$　よって $${y_*=\dfrac{2}{3}e^{-x}}$$
　　一般解は$${y=y_*+C_1y_1+C_2y_2=\dfrac{2}{3}e^{-x}+C_1e^{x}+C_2e^{2x}}$$

　　※ $${f(x)=e^{ax}}$$が基本解と被るときは$${y_*=xe^{ax}}$$とすればよい。
　　  さらに同次形D=0で基本解に$${xe^{ax}}$$がすでにある時は$${x^2e^{ax}}$$とする。

　例２ $${y''-y'-12y=24x^2-\dfrac{1}{3}}$$ (2-1-2)
　　特性方程式 $${\lambda^2-\lambda-12\lambda=0}$$
　　$${(\lambda-4)(\lambda+3)=0          \lambda_1=4,  \lambda_2=-3}$$
　　基本解は $${y_1=e^{4x},   y_2=e^{-3x}}$$
　　$${y_*=Ax^2+Bx+C}$$とおいて(2-1-2)に代入
　　　　（このとき$${y_*'=2Ax+B}$$、$${y_*''=2A}$$）
　　$${2A-(2Ax+B)-12(Ax^2+Bx+C)=24x^2-\dfrac{1}{3}}$$
　　$${-12Ax^2+(-2A-12B)x+(2A-B-12C)=24x^2-\dfrac{1}{3}}$$
　　$${-12A=24,    A=-2}$$
　　$${-2A-12B=0,   B=-\dfrac{A}{6}=-\dfrac{(-2)}{6}=\dfrac{1}{3}}$$
　　$${2A-B-12C=-\dfrac{1}{3},}$$
　　　　　　　$${C=\dfrac{2A-B+1/3}{12}=\dfrac{2×(-2)-1/3+1/3}{12}=-\dfrac{1}{3}}$$
　　よって特殊解は $${y_*=-2x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}}$$
　　一般解$${y=y_*+C_1y_1+C_2y_2=-2x^2+\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{3}+C_1e^{4x}+C_2e^{-3x}}$$

　例３ $${y''-5y'-6y=5\sin2x}$$ (2-1-3)
　　特性方程式 $${\lambda^2-5\lambda-6\lambda=0}$$
　　$${(\lambda-2)(\lambda-3)=0          \lambda_1=2,  \lambda_2=3}$$
　　基本解は $${y_1=e^{2x},   y_2=e^{3x}}$$
　　$${y_*=A\sin2x+B\cos2x}$$とおいて(2-1-3)に代入
　　　　（$${y_*'=2A\cos2x-2B\sin2x}$$、$${y_*''=-4A\sin2x-4B\cos2x}$$）
　　$${-4A\sin2x-4B\cos2x-5(2A\cos2x-2B\sin2x)}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　$${-6(A\sin2x+B\cos2x)=5\sin2x}$$
　　$${(-4A+10B-6A)\sin2x+(-4B-10A-6B)\cos2x=5\sin2x}$$
　　$${-4A+10B-6A=5,    -10A+10B=5,    -2A+2B=1}$$
　　$${-4B-10A-6B=0,     -10A-10B=0,     A+B=0}$$
　　$${A=\dfrac{\begin{bmatrix}1          2\\0         1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2    2\\   1     1\end{bmatrix}}=\dfrac{1-0}{-2-2}=-\dfrac{1}{4},          B=\dfrac{\begin{bmatrix}-2    1\\  1      0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-2    2\\   1     1\end{bmatrix}}=\dfrac{0-1}{-2-2}=\dfrac{1}{4}}$$
　　特殊解$${y_*=-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x}$$
　　よって一般解$${y=-\dfrac{1}{4}\sin2x+\dfrac{1}{4}\cos2x+C_1e^{2x}+C_2e^{3x}}$$

　　※ $${f(x)}$$が指数関数､べき関数､三角関数の和のときは、$${y_*}$$もそれら
　　　の和とすればよい。

2-2 定数変化法
　未定係数法では$${f(x)}$$の関数形に応じて$${y_*}$$はこういう関数形ではないか
　と予想を立てる。
　それはいつもうまくいくか？
　その保証はない。どんな$${f(x)}$$にも対応できる方法を述べる。
　まずここで
　$${y_*=C_1(x)y_1+C_2(x)y_2}$$ (2-2-1) とする。
　同次形($${f(x)=0}$$)のときの一般解$${y=C_1y_1+C_2y_2}$$では$${C_1}$$､$${C_2}$$は定数
　であるが、 (2-2-1)では$${x}$$の任意関数である。
　そして、さらに$${C_1(x)}$$､$${C_2(x)}$$は　
　$${C_1'(x)y_1+C_2'(x)y_2=0}$$ (2-2-2) を満たすとする。
　(2-2-1)を(b)$${{{y''}+a{y'}+by=f(x)}}$$に代入する。
　$${{(C_1(x)y_1+C_2(x)y_2)''}+a{(C_1(x)y_1+C_2(x)y_2)'}}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${+b(C_1(x)y_1+C_2(x)y_2)=f(x)}$$
　$${{(C_1'y_1+C_1y_1'+C_2'y_2+C_2y_2')'}+a{(C_1'y_1+C_1y_1'+C_2'y_2+C_2y_2')}}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${+b(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)}$$
　$${(\underline{C_1'y_1+C_2'y_2}+C_1y_1'+C_2y_2')'+a(\underline{C_1'y_1+C_2'y_2}+C_1y_1'+C_2y_2')}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${+b(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)}$$
　(2-2-2)$${C_1'(x)y_1+C_2'(x)y_2=0}$$なので
　$${(C_1y_1'+C_2y_2')'+a(C_1y_1'+C_2y_2')+b(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)}$$
　$${(C_1'y_1'+C_1y_1''+C_2'y_2'+C_2y_2'')+a(C_1y_1'+C_2y_2')}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${+b(C_1y_1+C_2y_2)=f(x)}$$
　$${C_1'y_1'+C_2'y_2'+C_1(\underline{y_1''+ay_1'+by_1})+C_2(\underline{y_2''+ay_2'+by_2})=f(x)}$$
　$${y_1''+ay_1'+by_1=0,   y_2''+ay_2'+by_2=0}$$なので
　$${C_1'y_1'+C_2'y_2'=f(x)}$$ (2-2-3)
　$${C_1'y_1+C_2'y_2=0}$$(2-2-2) と連立させて
　$${C_1'=\dfrac{\begin{bmatrix}f(x)  y_2'\\   0         y_2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_1'          y_2'\\y_1          y_2\end{bmatrix}}=\dfrac{y_2f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}}$$　　$${C_2'=\dfrac{\begin{bmatrix}y_1'  f(x)\\y_1         0   \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_1'          y_2'\\y_1          y_2\end{bmatrix}}=-\dfrac{y_1f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}}$$
　それぞれ積分して
　$${C_1=\displaystyle\int\dfrac{y_2f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}dx}$$　　$${C_2=-\displaystyle\int\dfrac{y_1f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}dx}$$
　よって特殊解は
　$${y_*=y_1\displaystyle\int\dfrac{y_2f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}dx-y_2\displaystyle\int\dfrac{y_1f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}dx}$$ (2-2-4)
　である。（分母はロンスキアンである）
　これが特殊解の一般式であるが、例１をこの式で解いてみよう。　
　例１ $${y''-3y'+2y=4e^{-x}}$$ (2-1-1)
　　$${y_1=e^x,   y_2=e^{2x},   f(x)=4e^{-x}}$$を(2-2-4)に代入
　　$${y_*=y_1\displaystyle\int\dfrac{y_2f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}dx-y_2\displaystyle\int\dfrac{y_1f(x)}{y_1'y_2-y_1y_2'}dx}$$
　　$${y_*=e^x\displaystyle\int\dfrac{e^{2x}  4e^{-x}}{(e^x)'e^{2x}-e^x(e^{2x})'}dx-e^{2x}\displaystyle\int\dfrac{e^x  4e^{-x}}{(e^x)'e^{2x}-e^x(e^{2x})'}dx}$$
　　　$${=e^x\displaystyle\int\dfrac{e^{2x}  4e^{-x}}{e^xe^{2x}-2e^xe^{2x}}dx-e^{2x}\displaystyle\int\dfrac{e^x  4e^{-x}}{e^xe^{2x}-2e^xe^{2x}}dx}$$
　　　$${=e^x\displaystyle\int\dfrac{4e^{-x}}{e^x-2e^x}dx-e^{2x}\displaystyle\int\dfrac{4e^{-x}}{e^{2x}-2e^{2x}}dx}$$
　　　$${=e^x\displaystyle\int\dfrac{4e^{-x}}{-e^x}dx-e^{2x}\displaystyle\int\dfrac{4e^{-x}}{-e^{2x}}dx=-4e^x\displaystyle\int e^{-2x}dx+4e^{2x}\displaystyle\int e^{-3x}dx}$$
　　　$${=-4e^x\Big(\dfrac{e^{-2x}}{-2}\Big)+4e^{2x}\Big(\dfrac{e^{-3x}}{-3}\Big)=2e^{-x}-\dfrac{4}{3}e^{-x}=\dfrac{6-4}{3}e^{-x}=\dfrac{2}{3}e^{-x}}$$
　　でけっこう手間であり、複雑な積分計算の可能性もある。
　　未定係数法で探せるものなら､探したほうがよい。
　　どうしても特殊解が見つからない最後の方法である。

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