連成振動

1 問題

質量$${m}$$の２つの質点が両端を固定した3本のばねで結ばれ、両側のばねの弾性定数を$${c}$$、間のバネの弾性定数を$${k}$$とする。

各質点のつり合いの位置を$${O_1}$$､$${O_2}$$とし、$${O_1}$$､$${O_2}$$からの右方向への変位をそれぞれ$${x_1}$$､$${x_2}$$とする。

2 立式

Newton's 2nd lowより
　$${m\ddot{x_1}=-cx_1+k(x_2-x_1)}$$　(2-1)
　$${m\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1)-cx_2}$$　(2-2)
または
　運動エネルギー$${T=\dfrac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2)}$$　(2-3)
　位置エネルギー$${U=\dfrac{1}{2}cx_1^2+\dfrac{1}{2}k(x_2-x_1)^2+\dfrac{1}{2}cx_2^2}$$　(2-4)
　Lagrangian$${\mathscr{L}=T-U}$$
　　　　 　　　$${=\dfrac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2)-\dfrac{1}{2}cx_1^2-\dfrac{1}{2}k(x_2-x_1)^2-\dfrac{1}{2}cx_2^2}$$　(2-5)
　Lagrange's eq
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x_1}}\Big)=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial{x_1}}}$$に代入　→　$${\dfrac{d}{dt}(m\dot{x_1})=-cx_1+k(x_2-x_1)}$$
　よって　$${m\ddot{x_1}=-cx_1+k(x_2-x_1)}$$　(2-1)と同じ式
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x_2}}\Big)=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial{x_2}}}$$に代入　→　$${\dfrac{d}{dt}(m\dot{x_2})=-k(x_2-x_1)-cx_1}$$
　よって　$${m\ddot{x_2}=-k(x_2-x_1)-cx_2}$$　(2-2)と同じ式

3 解法

　$${x_1=A_1\cos(\omega t+\alpha)}$$　(3-1)　→　$${\ddot{x_1}=-A_1\omega^2\cos(\omega t+\alpha)}$$　(3-1'')
　$${x_2=A_2\cos(\omega t+\alpha)}$$　(3-2)　→　$${\ddot{x_2}=-A_2\omega^2\cos(\omega t+\alpha)}$$　(3-2'')
とおき
これらを(2-1)に代入
　$${-mA_1\omega^2\cos(\omega t+\alpha)}$$
　　　　　　$${=-cA_1\cos(\omega t+\alpha)+k\{A_2\cos(\omega t+\alpha)-A_1\cos(\omega t+\alpha)\}}$$
　$${-mA_1\omega^2=-cA_1+k(A_2-A_1)}$$
よって
　$${(m\omega^2-c-k)A_1+kA_2=0}$$　(3-3)
(2-2)に代入
　$${-mA_2\omega^2\cos(\omega t+\alpha)}$$
　　　　$${=-k\{A_2\cos(\omega t+\alpha)-A_1\cos(\omega t+\alpha)\}-cA_2\cos(\omega t+\alpha)}$$
　$${-mA_2\omega^2=-k(A_2-A_1)-cA_2}$$
よって
　$${kA_1+(m\omega^2-k-c)A_2=0}$$　(3-4)

(3-3)(3-4)を行列に書き直すと
　$${\begin{bmatrix}(m\omega^2-c-k)                  k           \\           k            (m\omega^2-k-c)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A_1\\A_2\end{bmatrix}=0}$$
$${A_1=A_2=0}$$以外の解は
　$${\begin{vmatrix}(m\omega^2-c-k)                  k           \\           k            (m\omega^2-k-c)\end{vmatrix}=0}$$
　$${(m\omega^2-c-k)(m\omega^2-k-c)-k^2=0}$$
　$${\{(m\omega^2-c-k)+k\}\{(m\omega^2-k-c)-k\}=0}$$
　$${(m\omega^2-c)(m\omega^2-c-2k)=0}$$
よって
　$${\omega=\sqrt{\dfrac{c}{m}}  ,\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}} (=\omega_1,  \omega_2)}$$　(3-5)
$${\omega=\sqrt{\dfrac{c}{m}}  (=\omega_1)}$$のとき
　(3-3)に代入
　$${\Big(m\dfrac{c}{m}-c-k\Big)A_1+kA_2=0}$$　→　$${A_1=A_2  (=B_1 とおく)}$$
　(3-1)(3-2)に代入
　$${x_1=B_1\cos(\omega_1 t+\alpha_1)=B_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\alpha_1\Big)}$$　
　$${x_2=B_1\cos(\omega_1 t+\alpha_1)=B_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\alpha_1\Big)}$$　
$${\omega=\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  (=\omega_2)}$$のとき
　(3-3)に代入
　$${\Big(m\dfrac{c+2k}{m}-c-k\Big)A_1+kA_2=0}$$　→　$${A_1=-A_2  (=B_2とおく)}$$
　(3-1)(3-2)に代入
　$${x_1=B_2\cos(\omega_2 t+\alpha_2)=B_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\alpha_2\Big)}$$
　$${x_2=-B_2\cos(\omega_2 t+\alpha_2)=-B_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\alpha_2\Big)}$$
よって一般解として
　$${x_1=B_1\cos(\omega_1 t+\alpha_1)+B_2\cos(\omega_2 t+\alpha_2)}$$
 　　 $${=B_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\alpha_1\Big)+B_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\alpha_2\Big)}$$　(3-6)
　$${x_2=B_1\cos(\omega_1 t+\alpha_1)-B_2\cos(\omega_2 t+\alpha_2)}$$
 　　 $${=B_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\alpha_1\Big)-B_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\alpha_2\Big)}$$　(3-7)

4 解の意味

(3-6)(3-7)において
$${B_1=0}$$のとき
　$${x_1=-x_2}$$となる。
　２つの質点は角速度$${\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}}$$で互いに近づいたり
　遠ざかったりの振動をくり返す。
$${B_2=0}$$のとき
　$${x_1=x_2}$$となる。
　２つの質点は角速度$${\sqrt{\dfrac{c}{m}}}$$で同じ距離を保ちながら
　左右への振動をくり返す。
これらの振動を$${\underline{基準振動}}$$という。

$${\bm{\omega_1}}$$と$${\bm{\omega_2}}$$の関係

(3-5)より $${\omega_1=\sqrt{\dfrac{c}{m}},   \omega_2=\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}}$$であるが、両者の関係を整理しておく。
　$${\omega_2=\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}=\sqrt{\dfrac{c}{m}}\underline{\sqrt{1+2\dfrac{k}{c}}}}$$
　　　　　　Maclaurin expansion
　　　　　　$${f(x)=\sqrt{1+2\dfrac{k}{c}}=\sqrt{1+2x}=(1+2x)^{1/2}}$$、$${f(0)=1}$$
　　　　　　$${f'(x)=\dfrac{1}{2}(1+2x)^{-1/2}×2=(1+2x)^{-1/2}}$$、$${f'(0)=1}$$
　　　　　　$${f''(x)=\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)(1+2x)^{-3/2}×2=-\dfrac{1}{2}(1+2x)^{-3/2}}$$、
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${f''(0)=-\dfrac{1}{2}}$$
　　　　　　$${f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{1}{2!}f''(0)x^2+…}$$
　　　　　　  　　$${=1+x+\dfrac{1}{2}\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)x^2+…=1+x=\underline{1+\dfrac{k}{c}}}$$
　  　$${=\sqrt{\dfrac{c}{m}}\Big(1+\dfrac{k}{c}\Big)=\omega_1\Big(1+\dfrac{k}{c}\Big)}$$　(4-1)

ここで
片方の質点だけを動かして静かに放したときの運動を考える。
初期条件として
　$${t=0}$$のとき
　$${x_1=a}$$($${a}$$だけ動かす)、$${x_2=0}$$(動かさない)、$${\dot{x_1}=\dot{x_2}=0}$$(静止状態)
(3-6)(3-7)に初期条件を代入
　$${a=B_1\cos\alpha_1+B_2\cos\alpha_2}$$　(4-2)
　$${0=B_1\cos\alpha_1-B_2\cos\alpha_2}$$　(4-3)
(3-6)(3-7)を微分してから代入､整理
　$${0=-B_1\sin\alpha_1-B_2\sin\alpha_2}$$　(4-4)
　$${0=-B_1\sin\alpha_1+B_2\sin\alpha_2}$$　(4-5)
(4-2)+(4-3)　$${a=2B_1\cos\alpha_1}$$、$${B_1=\dfrac{a}{2\cos\alpha_1}}$$　(4-6)
(4-2)-(4-3)　$${a=2B_2\cos\alpha_2}$$、$${B_2=\dfrac{a}{2\cos\alpha_2}}$$　(4-7)
(4-4)+(4-5)　$${0=-2B_1\sin\alpha_1}$$、$${0=B_1\sin\alpha_1}$$　(4-8)
(4-4)-(4-5)　$${0=-2B_2\sin\alpha_2}$$、$${0=B_2\sin\alpha_2}$$　(4-9)
(4-6)を(4-8)に代入
　$${0=\dfrac{a}{2\cos\alpha_1}\sin\alpha_1}$$、$${0=\dfrac{\sin\alpha_1}{\cos\alpha_1}＝\tan\alpha_1}$$、$${\alpha_1=0}$$　(4-10)
(4-7)を(4-9)に代入
　$${0=\dfrac{a}{2\cos\alpha_2}\sin\alpha_2}$$、$${0=\dfrac{\sin\alpha_2}{\cos\alpha_2}＝\tan\alpha_2}$$、$${\alpha_2=0}$$　(4-11)
(4-10)を(4-6)に代入　$${B_1=\dfrac{a}{2\cos0}=\dfrac{a}{2}}$$　(4-12)
(4-11)を(4.7)に代入　$${B_2=\dfrac{a}{2\cos0}=\dfrac{a}{2}}$$　(4-13)
(4-10)(4-11)(4-12)(4-13)を(3-6)に代入
　$${x_1=\dfrac{a}{2}\cos  \omega_1 t+\dfrac{a}{2}\cos\omega_2 t=\dfrac{a}{2}(\cos  \omega_1 t+\cos\omega_2 t)}$$
　　　　　　$${\because}$$$${\cos x+\cos y=2\cos\dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}}$$
　　　　　　　$${\cos x-\cos y=-2\sin\dfrac{x+y}{2}\sin\dfrac{x-y}{2}}$$
 　　 $${=\dfrac{a}{2}×2\cos\dfrac{\omega_1 t+\omega_2 t}{2}\cos\dfrac{\omega_1 t-\omega_2 t}{2}=a\cos\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2}  t  \cos\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}t}$$
　　　　　　$${\because}$$(4-1)$${\omega_2=\omega_1\Big(1+\dfrac{k}{c}\Big)}$$より
　　　　　　　$${\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2}=\dfrac{\omega_1+\omega_1\Big(1+\dfrac{k}{c}\Big)}{2}=\Big(1+\dfrac{k}{2c}\Big)\omega_1\approx\omega_1}$$
　　　　　　　$${\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}=\dfrac{\omega_1-\omega_1\Big(1+\dfrac{k}{c}\Big)}{2}=-\dfrac{k}{2c}  \omega_1}$$
 　　 $${=a\cos\omega_1 t  \cos\Big(-\dfrac{k}{2c}  \omega_1\Big)t=a\cos\omega_1 t  \cos\Big(\dfrac{k}{2c}  \omega_1t\Big)}$$　(4-14)
(4-10)(4-11)(4-12)(4-13)を(3-7)に代入
　$${x_2=\dfrac{a}{2}\cos  \omega_1 t-\dfrac{a}{2}\cos  \omega_2 t}$$
 　　 $${=\dfrac{a}{2}(\cos  \omega_1 t-\cos  \omega_2 t)}$$
 　　 $${=\dfrac{a}{2}\Big(-2\sin\dfrac{\omega_1+\omega_2}{2}\sin\dfrac{\omega_1-\omega_2}{2}\Big)}$$
 　　 $${=-a\sin \omega_1 t  \sin\Big(-\dfrac{k}{2c}  \omega_1\Big)t=a\sin \omega_1 t  \sin\Big(\dfrac{k}{2c}  \omega_1 t\Big)}$$　(4-15)
　　　　　　ただし $${\omega_1=\sqrt{\dfrac{c}{m}}}$$
(4-14)(4-15)より$${x_1}$$､$${x_2}$$の動きをグラフに表わす。（$${a=1}$$とする）
初期条件：一方の質点を$${a}$$だけ移動して静止させる（$${x_1=a,  \dot{x_1}=0}$$）
　　　　　もう一方の質点はそのまま静止させる（$${x_2=0,  \dot{x_2}=0}$$）

$${x_1}$$､$${x_1}$$は共に角速度$${\omega_1}$$で振動を始めるが、$${x_1}$$の振幅は$${a}$$→$${0}$$→$${a}$$→ …  、$${x_2}$$の振幅は$${0}$$→$${a}$$→$${0}$$→ …  と周期的に増減を繰り返す。
２つの質点が連結するバネを通して互いにエネルギーをやり取りする結果、このような振幅の逆向きの変動が起こる。

5 主軸変換

さて(2-5)のLagrangianをもう一度みよう。
　$${\mathscr{L}=\dfrac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2)-\dfrac{1}{2}cx_1^2-\dfrac{1}{2}k(x_2-x_1)^2-\dfrac{1}{2}cx_2^2}$$
第２項以降を整理すると
　$${\mathscr{L}=\dfrac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2)-\dfrac{1}{2}(c+k)x_1^2+kx_1x_2-\dfrac{1}{2}(c+k)x_2^2}$$
となるが、$${x_1x_2}$$の項が無くなるように主軸変換を行う。
　$${\mathscr{L}=\dfrac{1}{2}m\begin{bmatrix}\dot{x_1}    \dot{x_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix}-\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}x_1   x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c+k   -k\\-k        c+k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}}$$　(5-1)
$${\bm{A}=\begin{bmatrix}c+k   -k\\-k        c+k\end{bmatrix}}$$とおく。　　$${\bm{Ax}=\lambda\bm{x}}$$　$${(\bm{A}-\lambda\bm{E})\bm{x}=\bm{0}}$$
　$${\begin{vmatrix}c+k-\lambda      -k\\-k           c+k-\lambda\end{vmatrix}=0}$$　$${(c+k-\lambda)^2-k^2=0}$$
　$${(c+k-\lambda+k)(c+k-\lambda-k)=0}$$　$${(c+2k-\lambda)(c-\lambda)=0}$$
　$${\lambda=c(\lambda_1),  c+2k(\lambda_2)}$$
$${\lambda=c(\lambda_1)}$$のとき
　$${\begin{bmatrix}c+k-c      -k\\-k         c+k-c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=0}$$　$${ka_1-ka_2=0}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${\bm{x_1}=\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$$　$${\bm{u_1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}$$
$${\lambda=c+2k(\lambda_2)}$$のとき
　$${\begin{bmatrix}c+k-c-2k      -k\\-k         c+k-c-2k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}=0}$$　$${-kb_1-kb_2=0}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${\bm{x_2}=\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}$$　$${\bm{u_1}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}}$$
よって $${\bm{P}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1  -1\\1           1\end{bmatrix}}$$　
　$${\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\bm{P}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}}$$（$${q_1,  q_2}$$:新しい主軸） 　 $${\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix}=\bm{P}\begin{bmatrix}\dot{q_1}\\\dot{q_2}\end{bmatrix}}$$
　$${^t\bm{P}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}   1       1\\-1      1\end{bmatrix}}$$　$${^t\bm{PAP}=\begin{bmatrix}c       c+2k\\c+2k       c\end{bmatrix}}$$
これらを(5-1)に代入
　$${\mathscr{L}=\dfrac{1}{2}m\begin{bmatrix}\dot{x_1}    \dot{x_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix}-\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}x_1   x_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c+k   -k\\-k        c+k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}}$$　(5-1)
　　$${=\dfrac{1}{2}m  \begin{matrix}\\\\\end{matrix}^t\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot{x_1}\\\dot{x_2}\end{bmatrix}-\dfrac{1}{2}   \begin{matrix}\\\\\end{matrix}^t\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\bm{A}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}}$$
　　$${=\dfrac{1}{2}m  \begin{matrix}\\\\\end{matrix}^t\Big\{\bm{P}\begin{bmatrix}\dot{q_1}\\\dot{q_2}\end{bmatrix}\Big\}\bm{P}\begin{bmatrix}\dot{q_1}\\\dot{q_2}\end{bmatrix}-\dfrac{1}{2}   \begin{matrix}\\\\\end{matrix}^t\Big\{\bm{P}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}\Big\}\bm{A}\bm{P}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}}$$
　　$${=\dfrac{1}{2}m  \begin{matrix}\\\\\end{matrix}^t\begin{bmatrix}\dot{q_1}\\\dot{q_2}\end{bmatrix}{^t\bm{P}}\bm{P}\begin{bmatrix}\dot{q_1}\\\dot{q_2}\end{bmatrix}-\dfrac{1}{2}  \begin{matrix}\\\\\end{matrix}^t\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}{^t\bm{P}}\bm{A}\bm{P}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}}$$
　　$${=\dfrac{1}{2}m\begin{bmatrix}\dot{q_1}    \dot{q_2}\end{bmatrix}\bm{E}\begin{bmatrix}\dot{q_1}\\\dot{q_2}\end{bmatrix}-\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix}q_1   q_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c                0        \\0      c+2k\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}}$$
　　$${=\dfrac{1}{2}m(\dot{q_1}^2+\dot{q_2}^2)-\dfrac{1}{2}cq_1^2-\dfrac{1}{2}(c+2k)q_1^2}$$　(5-2)
(5-2)をLagrange's eq に代入
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_1}}\Big)=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_1}}$$　$${\dfrac{d}{dt}(m\dot{q_1})=-cq_1}$$　　$${m\ddot{q_1}=-cq_1}$$(5-3)
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_2}}\Big)=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_2}}$$　$${\dfrac{d}{dt}(m\dot{q_2})=-(c+2k)q_2}$$　　$${m\ddot{q_2}=-(c+2k)q_2}$$(5-4)
(5-3)(5-4)を解くと
　$${q_1=C_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\gamma_1\Big)}$$　(5-5)
　$${q_2=C_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\gamma_2\Big)}$$　(5-6)
それぞれ時間と共に変化しない振幅$${C_1}$$､$${C_2}$$を持つ振動となる。エネルギーのやり取りはなく、それぞれ独立した基準振動である。

6 ２つの質点をまとめた立式

ここではじめの図に戻る。
２つの質点を１つのかたまりとして考えてみよう。

質量$${2m}$$､重心Gのかたまりが左右から弾性定数$${c}$$のばねで結ばれている。
つりあっているときの重心Gの位置からのずれを$${x_G}$$とすると
　$${x_G=\dfrac{x_1+x_2}{2}}$$(6-1)である。
重心の運動エネルギーは
　$${T_G=\dfrac{1}{2}×2m  \dot{x_G}^2=m\Big(\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2}\Big)^2}$$(6-2)である。
これを全運動エネルギー(2-3)から引くと
　$${T-T_G=\dfrac{1}{2}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2)-m\Big(\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2}\Big)^2}$$
　　$${=\dfrac{1}{4}m(2\dot{x_1}^2+2\dot{x_2}^2-\dot{x_1}^2-2\dot{x_1}\dot{x_2}-\dot{x_2}^2)}$$
　　$${=\dfrac{1}{4}m(\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2-2\dot{x_1}\dot{x_2})=\dfrac{1}{2}\Big( \dfrac{1}{2}m\Big)(\dot{x_1}-\dot{x_2})^2}$$(6-3)　となる。
これは質量$${\dfrac{1}{2}m}$$､速度$${(\dot{x_1}-\dot{x_2})}$$の質点の運動エネルギーを表わしている。
ここで相対座標$${x_R={x_1}-{x_2}}$$(6-4)を定義すると、(6-3)は$${T-T_G=T_R}$$となる。
まとめると
運動エネルギーは
　重心について：$${T_G=\dfrac{1}{2}×2m  \dot{x_G}^2}$$（質量$${2m}$$、速度$${\dot{x_G}=\dfrac{\dot{x_1}+\dot{x_2}}{2}}$$）
　相対運動では：$${T_R=\dfrac{1}{2}\Big( \dfrac{1}{2}m\Big)\dot{x_R}^2}$$（質量$${\dfrac{1}{2}m}$$､速度$${\dot{x_R}=\dot{x_1}-\dot{x_2}}$$
よって
　$${T=T_G+T_R=\dfrac{1}{2}×2m  \dot{x_G}^2+\dfrac{1}{2}\Big( \dfrac{1}{2}m\Big)x_R^2=m\dot{x_G}^2+\dfrac{1}{4}mx_R^2}$$　(6-5)
(6-1)$${x_G=\dfrac{x_1+x_2}{2}}$$、  (6-4)$${x_R=\dot{x_1}-\dot{x_2}}$$より
　$${x_1=x_G+\dfrac{1}{2}x_R}$$、$${x_2=x_G-\dfrac{1}{2}x_R}$$　(6-6)
これを(2-4)に代入すると、位置エネルギーは
　$${U=\dfrac{1}{2}cx_1^2+\dfrac{1}{2}k(x_2-x_1)^2+\dfrac{1}{2}cx_2^2}$$(2-4)
　　$${=\dfrac{1}{2}c\Big(x_G+\dfrac{1}{2}x_R\Big)^2+\dfrac{1}{2}k\Big(x_G-\dfrac{1}{2}x_R-x_G-\dfrac{1}{2}x_R\Big)^2}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$${+\dfrac{1}{2}c\Big(x_G-\dfrac{1}{2}x_R\Big)^2}$$
　　$${=\dfrac{1}{2}c\Big(x_G^2+x_Gx_R+\dfrac{1}{4}x_R^2\Big)+\dfrac{1}{2}kx_R^2+\dfrac{1}{2}c\Big(x_G^2+x_Gx_R-\dfrac{1}{4}x_R^2\Big)}$$
　　$${=c\Big(x_G^2+\dfrac{1}{4}x_R^2\Big)+\dfrac{1}{2}kx_R^2=cx_G^2+\dfrac{c}{4}x_R^2+\dfrac{1}{2}kx_R^2}$$
　　$${=cx_G^2+\dfrac{1}{4}(c+2k)x_R^2}$$　(6-7)
まとめると
位置エネルギーは
　重心について $${U_G=cx_G^2}$$　弾性定数$${2c}$$のばねによる
　相対運動では $${U_R=\dfrac{1}{4}(c+2k)x_R^2}$$　弾性定数$${\dfrac{c+2k}{2}}$$のばねによる
(6-5)(6-7)より
　$${\mathscr{L}=T-U=m \dot{x_G}^2+\dfrac{1}{4}mx_R^2-cx_G^2-\dfrac{1}{4}(c+2k)x_R^2}$$　(6-8)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（$${x_Gx_R}$$の項がない！）
(6-8)を Lagrange's eq に代入
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x_G}}\Big)=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial{x_G}}}$$ $${\dfrac{d}{dt}(2m\dot{x_G})=-2cx_G}$$　　$${m\ddot{x_G}=-cx_G}$$
　　　$${\ddot{x_G}=-\dfrac{c}{m}x_R}$$(6-9)　$${x_G=D_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\delta_1\Big)}$$(6-10)
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x_R}}\Big)=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial{x_R}}}$$ $${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{1}{4}m\dot{x_R}\Big)=-\dfrac{1}{4}(c+2k)x_R}$$　　$${m\ddot{x_G}=-cx_R}$$
　　　$${\ddot{x_R}=-\dfrac{c+2k}{m}x_R}$$(6-11)　$${x_R=D_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\delta_2\Big)}$$(6-12)
これらを５の結論と比べると
$${q_1=C_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\gamma_1\Big)}$$(5-5)　　 $${q_2=C_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\gamma_2\Big)}$$(5-6)
$${x_G=D_1\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c}{m}}  t+\delta_1\Big)}$$(6-10)　  $${x_R=D_2\cos\Big(\sqrt{\dfrac{c+2k}{m}}  t+\delta_2\Big)}$$(6-12)
主軸変換した$${q_1, q2}$$と重心$${x_G}$$, 相対運動$${x_R}$$は同じものだ ということが分かる。

以上
原島鮮「力学Ⅱ」の記述に従って､大幅に端折られている穴を埋めたり､別の視点を補ったりしながらまとめた。わたしには長い道のりであった。やれやれ。

　連成振動　←主軸変換
　　　　　　　←行列の対角化　←固有値､固有ベクトル
　　　　　　　←変換行列､直交行列
　　　　　　　　←２次曲線の主軸変換　←２次曲線　

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