HamiltonｰJacobi の偏微分方程式
Hamilton-Jacobi の偏微分方程式の導出
$${W=W(\{q_i\},\{P_i\},t)}$$ とすると
これは正準変換の母関数の ii)より
$${p_i=\dfrac{\partial W}{\partial q_i}}$$(ii-2) $${Q_i=\dfrac{\partial W}{\partial P_i}}$$(ii-3) $${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H}+\dfrac{\partial W}{\partial t}}$$(ii-4)
である。
変換後の正準方程式に$${\mathscr{\overline{H}}=0}$$をに代入すると
$${\dfrac{dQi}{dt}=\dfrac{\partial\mathscr{\overline{H}}}{\partial P_i}=0}$$ よって$${Q_i=const=\beta_i}$$ (1)とおく
$${\dfrac{dPi}{dt}=-\dfrac{\partial\mathscr{\overline{H}}}{\partial Q_i}=0}$$ よって$${P_i=const=\alpha_i}$$ (2)とおく
※ 正準変換後の$${Q_i, P_i}$$は定数であり､トラジェクトリーは時間に
依存しない点$${(Q_i, P_i)}$$である。
(ii-4)に$${\mathscr{\overline{H}}=0}$$､(ii-2)と(2)を代入
$${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H(\{q_i\},\{p_i\},t)}+\dfrac{\partial W(\{q_i\},\{P_i\},t)}{\partial t}}$$ (ii-4)
$${0=\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial W}{\partial q_i}\Big\},t\Big)+\dfrac{\partial W(\{q_i\},\{\alpha_i\},t)}{\partial t}}$$
整理して
$${\dfrac{\partial }{\partial t}W(\{q_i\},\{\alpha_i\},t)+\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial W}{\partial q_i}\Big\},t\Big)=0}$$ (3)
これが Hamilton-Jacobi の偏微分方程式 である。この式を満たす$${W}$$を求めればよい。ちなみに$${W}$$はHamilton の主関数（principal function）と呼ぶ。
解法
この式を解くために
$${W(\{q_i\},\{\alpha_i\},t)=\Theta(t)+S(\{q_i\},\{\alpha_i\})}$$ (4)
とおいて$${W}$$を$${t}$$だけを含む関数$${\Theta(t)}$$とそれ以外の変数$${\{q_i\},\{\alpha_i\}}$$を含む関数$${S(\{q_i\},\{\alpha_i\})}$$に分離しておく。（ $${\mathscr{H}}$$は$${t}$$をあらわに含まないとする）
(4)を Hamilton-Jacobi の偏微分方程式に代入すると
$${\dfrac{\partial }{\partial t}[(\Theta(t)+\underline{S(\{q_i\},\{\alpha_i\})}]+\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial }{\partial q_i}[\underline{\Theta(t)}+S(\{q_i\},\{\alpha_i\})]\Big\}\Big)=0}$$
下線部=0 なので
$${\dfrac{\partial }{\partial t}\Theta(t)+\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial }{\partial q_i}S(\{q_i\},\{\alpha_i\})\Big\}\Big)=0}$$
ここで
$${\dfrac{\partial }{\partial t}\Theta(t)=const=-E}$$ (5)
$${\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial }{\partial q_i}S(\{q_i\},\{\alpha_i\})\Big\}\Big)=E}$$ (6)
に分ける。この式もHamilton-Jacobi の偏微分方程式と呼ばれる。
(5)を解くと $${\Theta(t)=-Et+C_1}$$ (7)
$${W}$$は(6)の解$${S(\{q_i\},\{\alpha_i\})}$$と(7)をあわせて
$${W=-Et+S(\{q_i\},\{\alpha_i\})}$$ (8) となる。
ところで変数$${q_i,p_i,Q_i,P_i ( i=1, \dots ,f)}$$の他に$${t}$$も変数なので自由度は$${f+1}$$である。積分定数$${\alpha_i ( i=1, \dots ,f)}$$だけでは１つ足りない。
そこで$${E=E(\{\alpha_i\})}$$(9)の条件をつけることにする。
まとめると
$${W=-Et+S(\{q_i\},\{\alpha_i\})}$$ (8)
$${E=E(\{\alpha_i\})}$$ (9)
Ｓより変換の式を求める
(6)の解$${S}$$を求めたとして､変換の式を求める手順は
(ii-2)に(8)を代入
$${p_i=\dfrac{\partial W}{\partial q_i}=\dfrac{\partial}{\partial q_i}[-Et+S(\{q_i\},\{\alpha_i\})]=\dfrac{\partial S(\{q_i\},\{\alpha_i\})}{\partial q_i}}$$ (10)
これで$${p_i(\{\alpha_i\},\{\beta_i\},t)}$$が得られる。
(ii-3)に(2)を代入
$${Q_i=\dfrac{\partial W}{\partial P_i}=\dfrac{\partial }{\partial P_i}[-Et+S(\{q_i\},\{\alpha_i\})]}$$ (11)
さらに(1)$${Q_i=\beta_i}$$､(2)$${P_i=\alpha_i}$$を代入
$${\beta_i=\dfrac{\partial }{\partial \alpha_i}[-Et+S(\{q_i\},\{\alpha_i\})]=-\dfrac{\partial E}{\partial \alpha_i}t+\dfrac{\partial S}{\partial \alpha_i}}$$ (12)
この式を逆に解けば$${q_i(\{\alpha_i\},\{\beta_i\},t)}$$が得られる。
いくつかの事例
事例１ 質点に力が作用しないとき
$${T=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{y}^2), U=0}$$
$${\mathscr{L}=T-U=\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{y}^2)}$$
$${p_x=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}, \dot{x}=\dfrac{p_x}{m},\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{y}}=m\dot{y}, \dot{y}=\dfrac{p_y}{m},\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{z}}=m\dot{z}, \dot{z}=\dfrac{p_z}{m}}$$
$${\mathscr{H}=p_x\dot{x}+p_y\dot{y}+p_z\dot{z}-\mathscr{L}}$$
$${=p_x\dfrac{p_x}{m}+p_x\dfrac{p_x}{m}+p_x\dfrac{p_x}{m}-\dfrac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{y}^2)}$$
$${=\dfrac{p_x^2}{m}+\dfrac{p_x^2}{m}+\dfrac{p_x^2}{m}-\dfrac{1}{2}m\Big\{\Big(\dfrac{p_x}{m}\Big)^2+\Big(\dfrac{p_y}{m}\Big)^2+\Big(\dfrac{p_z}{m}\Big)^2\Big\}}$$
$${=\dfrac{1}{2m}(p_x^2+p_y^2+p_z^2)}$$
← (ii-2)$${p_i=\dfrac{\partial W}{\partial q_i}}$$より $${p_x=\dfrac{\partial W}{\partial x}, p_y=\dfrac{\partial W}{\partial y}, p_z=\dfrac{\partial W}{\partial z}}$$
$${=\dfrac{1}{2m}\Big\{\Big(\dfrac{\partial W}{\partial x}\Big)^2+\Big(\dfrac{\partial W}{\partial y}\Big)^2+\Big(\dfrac{\partial W}{\partial z}\Big)^2\Big\}}$$
この$${\mathscr{H}}$$を Hamilton-Jacobi の偏微分方程式に代入する。
$${\dfrac{\partial }{\partial t}W(\{q_i\},\{\alpha_i\},t)+\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial W}{\partial q_i}\Big\},t\Big)=0}$$ (H-J eq)
$${\dfrac{\partial W}{\partial t}+\dfrac{1}{2m}\Big\{\Big(\dfrac{\partial W}{\partial x}\Big)^2+\Big(\dfrac{\partial W}{\partial y}\Big)^2+\Big(\dfrac{\partial W}{\partial z}\Big)^2\Big\}=0}$$ (13)
$${W=\Theta(t)+X(x)+Y(y)+Z(z)}$$ (14) とおく
$${\dfrac{d\Theta}{dt}+\dfrac{1}{2m}\Big\{\Big(\dfrac{dX}{dx}\Big)^2+\Big(\dfrac{dY}{dy}\Big)^2+\Big(\dfrac{dY}{dz}\Big)^2\Big\}=0}$$
$${\dfrac{d\Theta}{dt}=-E, \dfrac{dX}{dx}=a, \dfrac{dY}{dy}=b, \dfrac{dZ}{dz}=c}$$
ただし$${E=\dfrac{1}{2m}(a^2+b^2+c^2)}$$
$${\Theta=-Et+const}$$
$${X=ax+const, Y=by+const, Z=cz+const}$$
よって
$${W=-Et+ax+by+cz}$$ ←$${E=\dfrac{1}{2m}(a^2+b^2+c^2)}$$
$${=-\dfrac{1}{2m}(a^2+b^2+c^2)t+ax+by+cz}$$ (15)
これが求める母関数である。
これを$${a,b,c}$$で偏微分すると
$${\dfrac{\partial W}{\partial a}=-\dfrac{a}{m}t+x, \dfrac{\partial W}{\partial b}=-\dfrac{b}{m}t+y, \dfrac{\partial W}{\partial c}=-\dfrac{c}{m}t+z}$$ (16)
ところで
$${Q_i=\dfrac{\partial W}{\partial P_i}}$$(ii-3) ← (1)$${Q_i=const=\beta_i}$$､(2)$${P_i=const=\alpha_i}$$
$${\beta_i=\dfrac{\partial W}{\partial \alpha_i}}$$
よって
$${\beta_x=\dfrac{\partial W}{\partial a}, \beta_y=\dfrac{\partial W}{\partial b}, \beta_z=\dfrac{\partial W}{\partial c}}$$ (17)
(16)(17)をあわせて
$${\beta_x=-\dfrac{c}{m}t+x, \beta_y=-\dfrac{b}{m}t+y, \beta_z=-\dfrac{c}{m}t+z}$$
よって
$${x=\dfrac{a}{m}t+\beta_x, y=\dfrac{b}{m}t+\beta_y, z=\dfrac{c}{m}t+\beta_z}$$ (18)
初期位置$${(\beta_x,\beta_y,\beta_z)}$$から速度$${\Big(\dfrac{a}{m},\dfrac{b}{m},\dfrac{c}{m}\Big)}$$での移動である。
運動量は
$${p_i=\dfrac{\partial W}{\partial q_i}}$$(ii-2) より
$${p_x=\dfrac{\partial W}{\partial x}=a, p_y=\dfrac{\partial W}{\partial y}=b, p_z=\dfrac{\partial W}{\partial z}=c}$$ (19)
または
$${p_x=m\dot{x}=m\dfrac{a}{m}=a,p_y=m\dot{x}=m\dfrac{b}{m}=b,p_z=m\dot{x}=m\dfrac{c}{m}=c}$$
事例２ 質点が中心力場内を運動するとき
質点の位置は極座標$${(r,\theta)}$$で表す。
$${T=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2+(r\dot{\theta})^2)=\dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)}$$
$${U=U(r)}$$とする。
$${\mathscr{L}=T-U=\dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-U(r)}$$
$${p_r=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{r}}=m\dot{r}, \dot{r}=\dfrac{p_r}{m}, p_{\theta}=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}, \dot{\theta}=\dfrac{p_\theta}{mr^2}}$$
$${\mathscr{H}=p_r\dot{r}+p_\theta\dot{\theta}-\mathscr{L}=p_r\dot{r}+p_\theta\dot{\theta}-\dfrac{1}{2}m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)+U(r)}$$
$${=p_r\dfrac{p_r}{m}+p_\theta\dfrac{p_\theta}{mr^2}-\dfrac{1}{2}m\Big\{\Big(\dfrac{p_r}{m}\Big)^2+r^2\Big(\dfrac{p_\theta}{mr^2}\Big)^2\Big\}+U(r)}$$
$${=\dfrac{p_r^2}{m}+\dfrac{p_\theta^2}{mr^2}-\dfrac{1}{2}m\Big(\dfrac{p_r^2}{m^2}+r^2\dfrac{p_\theta^2}{m^2r^4}\Big)+U(r)}$$
$${=\dfrac{p_r^2}{m}+\dfrac{p_\theta^2}{mr^2}-\dfrac{p_r^2}{2m}-\dfrac{p_\theta^2}{2mr^2}+U(r)=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_\theta^2}{2mr^2}+U(r)}$$
$${=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_\theta^2}{2mr^2}+U(r)=\dfrac{1}{2m}\Big(p_r^2+\dfrac{p_\theta^2}{r^2}\Big)+U(r)}$$
← (ii-2)$${p_i=\dfrac{\partial W}{\partial q_i}}$$より $${p_r=\dfrac{\partial W}{\partial r}, p_\theta=\dfrac{\partial W}{\partial \theta}}$$
$${=\dfrac{1}{2m}\Big\{\Big(\dfrac{\partial W}{\partial r}\Big)^2+\dfrac{1}{r^2}\Big\{\Big(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\Big)^2\Big\}+U(r)}$$
この$${\mathscr{H}}$$を Hamilton-Jacobi の偏微分方程式に代入する。
$${\dfrac{\partial }{\partial t}W(\{q_i\},\{\alpha_i\},t)+\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial W}{\partial q_i}\Big\},t\Big)=0}$$ (H-J eq)
$${\dfrac{\partial W}{\partial t}+\dfrac{1}{2m}\Big\{\Big(\dfrac{\partial W}{\partial r}\Big)^2+\dfrac{1}{r^2}\Big\{\Big(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\Big)^2\Big\}+U(r)=0}$$ (20)
$${W=T(t)+R(r)+\Theta(\theta)}$$ (21) とおく。
$${\dfrac{\partial W}{\partial t}=\dfrac{dT}{dt}, \dfrac{\partial W}{\partial r}=\dfrac{dR}{dr}, \dfrac{\partial W}{\partial \theta}=\dfrac{d\Theta}{d\theta}}$$なので
(20)に代入すると
$${\dfrac{dT}{dt}+\dfrac{1}{2m}\Big\{\Big(\dfrac{dR}{dr}\Big)^2+\dfrac{1}{r^2}\Big\{\Big(\dfrac{d\Theta}{d\theta}\Big)^2\Big\}+U(r)=0}$$
$${t}$$の関数部分と$${t}$$の関数部分に分解
$${\dfrac{dT}{dt}=-E}$$ (21)
$${\dfrac{1}{2m}\Big\{\Big(\dfrac{dR}{dr}\Big)^2+\dfrac{1}{r^2}\Big\{\Big(\dfrac{d\Theta}{d\theta}\Big)^2\Big\}+U(r)=E}$$ (22)
(21)より $${T=-Et+const}$$ (23)
(22)の両辺に$${2mr^2}$$をかけて$${r}$$の関数と$${\theta}$$の関数にわける。
$${\Big(\dfrac{dR}{dr}\Big)^2r^2+\Big(\dfrac{d\Theta}{d\theta}\Big)^2+2mU(r)r^2=2mEr^2}$$
$${\Big(\dfrac{dR}{dr}\Big)^2r^2-2m\{E-U(r)\}r^2+\Big(\dfrac{d\Theta}{d\theta}\Big)^2=0}$$
$${\theta}$$の関数と$${r}$$の関数に分解
$${\Big(\dfrac{d\Theta}{d\theta}\Big)^2=\alpha_\theta^2}$$ (24)
$${\Big(\dfrac{dR}{dr}\Big)^2r^2-2m\{E-U(r)\}r^2=-\alpha_\theta^2}$$ (25)
(24)より
$${\dfrac{d\Theta}{d\theta}=\alpha_\theta, \Theta=\displaystyle\int\alpha_\theta d\theta=\alpha_\theta \theta+const}$$ (26)
(25)より
$${\Big(\dfrac{dR}{dr}\Big)^2=2m\{E-U(r)\}-\dfrac{\alpha_\theta^2}{r^2}}$$
$${\dfrac{dR}{dr}=\pm\sqrt{2m\{E-U(r)\}-\dfrac{\alpha_\theta^2}{r^2}}}$$
$${R=\pm\displaystyle\int\sqrt{2m\{E-U(r)\}-\dfrac{\alpha_\theta^2}{r^2}} dr}$$ (27)
(23)(26)(27)あわせて
$${W=-Et\pm\displaystyle\int\sqrt{2m\{E-U(r)\}-\dfrac{\alpha_\theta^2}{r^2}} dr+\alpha_\theta \theta}$$ (28)
事例３ 質点に重力がかかっているとき
鉛直方向の基準点$${x=0}$$からの位置$${x}$$において、鉛直下向きに$${mg}$$の重力がかかる。
$${T=\dfrac{1}{2}mx^2, U=\displaystyle\int_0^xmg dx=mgx}$$
$${\mathscr{L}=T-U=\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2-mgx, p=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}, \dot{x}=\dfrac{p}{m}}$$
(ii-2)より $${p=\dfrac{\partial W}{\partial x}}$$
$${\mathscr{H}=p\dot{x}-\mathscr{H}=p\dot{x}-\dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+mgx=p×\dfrac{p}{m}-\dfrac{1}{2}m×\dfrac{p^2}{m^2}+mgx}$$
$${=\dfrac{p^2}{2m}+mgx=\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial W}{\partial x}\Big)^2+mgx}$$
これを Hamilton-Jacobi の偏微分方程式に代入
$${\dfrac{\partial }{\partial t}W(\{q_i\},\{\alpha_i\},t)+\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial W}{\partial q_i}\Big\},t\Big)=0}$$ (H-J eq)
$${\dfrac{\partial }{\partial t}W+\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial W}{\partial x}\Big)^2+mgx=0}$$
$${W=\Theta(t)+S(x)}$$とおいて代入
$${\dfrac{\partial }{\partial t}\Theta+\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial S}{\partial x}\Big)^2+mgx=0}$$
$${\dfrac{\partial }{\partial t}\Theta=-E}$$ (29)
$${\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial S}{\partial x}\Big)^2+mgx=E}$$ (30)
(29)より
$${\Theta=-ET+C_1}$$ (29)'
(30)より
$${S=\pm\displaystyle\int\sqrt{2m}(E-mgx)^{1/2}dx+C_2}$$
$${=\pm\sqrt{2m}\dfrac{1}{1/2+1}(E-mgx)^{1/2+1}\dfrac{1}{-mg}+C_2}$$
$${=\mp\sqrt{2m}\dfrac{1}{3/2}\dfrac{1}{mg}(E-mgx)^{3/2}+C_2}$$$${=\mp\dfrac{2\sqrt{2m}}{3mg}(E-mgx)^{3/2}+C_2}$$
$${=\mp\dfrac{2\sqrt{2m}}{3mg}(E-mgx)^{3/2}+C_2}$$ (30)'
(29')(30')より
$${W=-Et+\mp\dfrac{2\sqrt{2m}}{3mg}(E-mgx)^{3/2}}$$
(ii-2)より
$${p=\dfrac{\partial W}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\Big\{\mp\dfrac{2\sqrt{2m}}{3mg}(E-mgx)^{3/2}\Big\}}$$
$${=\mp\dfrac{2\sqrt{2m}}{3mg}\dfrac{3}{2}(E-mgx)^{3/2-1}(-mg)=\pm\sqrt{2m}(E-mgx)^{1/2}}$$
$${m\dot{x}=\pm\sqrt{2m}(E-mgx)^{1/2}, \dot{x}=\dfrac{dx}{dt}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}(E-mgx)^{1/2}}$$
$${(E-mgx)^{-1/2}dx=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}dt}$$
$${\displaystyle\int(E-mgx)^{-1/2}dx=\pm\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{2}{m}}dt+C_3}$$
$${\dfrac{1}{-1/2+1}(E-mgx)^{-1/2+1}\dfrac{1}{-mg}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}t+C_3}$$
$${-\dfrac{2}{mg}(E-mgx)^{-1/2+1}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}t+C_3}$$
$${(E-mgx)^{1/2}=\mp\sqrt{\dfrac{2}{m}}\dfrac{mg}{2}t+C_3'}$$
$${E-mgx=\Big(\mp\sqrt{\dfrac{2}{m}}\dfrac{mg}{2}t+C_3'\Big)^2=\Big(\mp\sqrt{\dfrac{m}{2}}gt+C_3'\Big)^2}$$
$${E-mgx=\Big(\mp\sqrt{\dfrac{m}{2}}gt+C_3'\Big)^2=\dfrac{m}{2}g^2t^2+C_4 t+C_5}$$
$${mgx=-\dfrac{m}{2}g^2t^2-C_4 t-C_5-E}$$
$${x=-\dfrac{1}{2}gt^2+C_4' t+C_6', \dot{x}=-gt+C_4'}$$
初期条件$${t=0, x=x_0, \dot{x}=v_0}$$より
$${x_0=-\dfrac{1}{2}g0^2+C_4'×0+C_6', C_6'=x_0}$$
$${v_0=-g×0+C_4', C_4'=v_0}$$
よって
$${x=-\dfrac{1}{2}gt^2+v_0 t+x_0}$$ 放物運動の式が得られる。
事例４ 単振動
質量$${m}$$の物体が壁に固定されたばね（ばね定数$${k}$$）と固定されている。重力などの外力は無い。
$${T=\dfrac{1}{2}m\dot{q}^2, U=\displaystyle\int_0^q kq dq=k\Big[\dfrac{q^2}{2}\Big]_0^q=\dfrac{1}{2}kq^2}$$
$${\mathscr{L}=T-U=\dfrac{1}{2}m\dot{q}^2-\dfrac{1}{2}kq^2}$$ $${p=\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q}}=m\dot{q}, \dot{q}=\dfrac{p}{m}}$$
$${\mathscr{H}=p\dot{q}-\mathscr{L}=p\dot{q}-\dfrac{1}{2}m\dot{q}^2+\dfrac{1}{2}kq^2=p\dfrac{p}{m}-\dfrac{1}{2}m\dfrac{p^2}{m^2}+\dfrac{1}{2}kq^2}$$
$${=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{1}{2}kq^2}$$ ← (ii-1)$${p=\dfrac{\partial W}{\partial q}}$$
$${=\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial W}{\partial q}\Big)^2+\dfrac{1}{2}kq^2}$$
H-J eq に代入
$${\dfrac{\partial }{\partial t}W(\{q_i\},\{\alpha_i\},t)+\mathscr{H}\Big(\{q_i\},\Big\{\dfrac{\partial W}{\partial q_i}\Big\},t\Big)=0}$$
$${\dfrac{\partial W}{\partial t}+\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial W}{\partial q}\Big)^2+\dfrac{1}{2}kq^2=0}$$
$${W=\Theta(t)+S(q)}$$とおいて代入
$${\dfrac{\partial \Theta}{\partial t}+\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial S}{\partial q}\Big)^2+\dfrac{1}{2}kq^2=0}$$
$${\dfrac{\partial \Theta}{\partial t}=-E, \Theta=-Et+C_1}$$
$${\dfrac{1}{2m}\Big(\dfrac{\partial S}{\partial q}\Big)^2+\dfrac{1}{2}kq^2=E}$$ $${\dfrac{\partial S}{\partial q}=\pm\sqrt{2m\Big(E-\dfrac{k}{2}q^2\Big)}}$$ (31)
$${S=\pm\displaystyle\int\sqrt{2m\Big(E-\dfrac{k}{2}q^2\Big)} dq}$$
← $${q=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\theta}$$とおく $${dq=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\cos\theta d\theta}$$
$${=\pm\displaystyle\int\sqrt{2m\Big\{E-\dfrac{k}{2}\Big(\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\theta\Big)^2\Big\}}\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\cos\theta d\theta}$$
$${=\pm\displaystyle\int\sqrt{2mE(1-\sin^2\theta)}\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\cos\theta d\theta}$$
$${=\pm\displaystyle\int\sqrt{2mE}\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\cos^2\theta d\theta}$$$${=\pm2E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\displaystyle\int\cos^2\theta d\theta}$$
$${=\pm2E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\displaystyle\int\dfrac{2\cos^2\theta}{2}d\theta}$$
$${=\pm2E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\displaystyle\int\dfrac{2\cos^2\theta-\cos^2\theta-\sin^2\theta+1}{2}d\theta}$$
$${=\pm2E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\displaystyle\int\dfrac{\cos^2\theta-\sin^2\theta+1}{2}d\theta}$$$${=\pm2E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\displaystyle\int\dfrac{\cos(\theta+\theta)+1}{2}d\theta}$$
$${=\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\displaystyle\int(\cos2\theta+1)d\theta=\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\Big(-\dfrac{1}{2}\sin2\theta+\theta\Big)+C_1}$$
$${=\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}(-\sin\theta\cos\theta+\theta)+C_1}$$
$${=\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\{-\sin\theta\sqrt{1-\sin^2\theta}+\theta\}+C_1}$$
← $${q=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\theta}$$より $${\sin\theta=q\sqrt{\dfrac{k}{2E}}}$$ $${\theta=\sin^{-1}\Big(q\sqrt{\dfrac{k}{2E}} \Big)}$$
$${=\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\Big\{-q\sqrt{\dfrac{k}{2E}}\sqrt{1-\Big(q\sqrt{\dfrac{k}{2E}} \Big)^2}+\sin^{-1}\Big(q\sqrt{\dfrac{k}{2E}} \Big)\Big\}+C_1}$$
$${=\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\Big\{-q\sqrt{\dfrac{k}{2E}}\sqrt{\dfrac{2E-q^2k}{2E}}+\sin^{-1}\Big(q\sqrt{\dfrac{k}{2E}} \Big)\Big\}+C_1}$$
$${=\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\Big\{-q\dfrac{\sqrt{k(2E-q^2k)}}{2E}+\sin^{-1}\Big(q\sqrt{\dfrac{k}{2E}} \Big)\Big\}+C_1}$$
よって
$${W=-Et\pm E\sqrt{\dfrac{m}{k}}\Big\{-q\dfrac{\sqrt{k(2E-q^2k)}}{2E}+\sin^{-1}\Big(q\sqrt{\dfrac{k}{2E}} \Big)\Big\}}$$ (32)
(ii-1)より
$${p=\dfrac{\partial W}{\partial q}=\dfrac{\partial S}{\partial q}=\pm\sqrt{2m\Big(E-\dfrac{k}{2}q^2\Big)}}$$
（(32)を偏微分する必要はない。(31)よりわかる）
よって
$${m\dot{q}=\pm\sqrt{2m\Big(E-\dfrac{k}{2}q^2\Big)}}$$ $${\dfrac{dq}{dt}=\dot{q}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}\sqrt{E-\dfrac{k}{2}q^2}}$$
$${\dfrac{dq}{\sqrt{E-\dfrac{k}{2}q^2}}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}dt}$$
← $${q=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\theta}$$とおく $${dq=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\cos\theta d\theta}$$
$${\dfrac{\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\cos\theta d\theta}{\sqrt{E-\dfrac{k}{2}\Big(\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\theta\Big)^2}}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}dt}$$
$${\dfrac{\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\cos\theta d\theta}{\sqrt{E(1-\sin^2\theta)}}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}dt}$$ $${\dfrac{\sqrt{2E}\cos\theta d\theta}{\sqrt{kE\cos^2\theta}}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}dt}$$
$${\dfrac{\sqrt{2}d\theta}{\sqrt{k}}=\pm\sqrt{\dfrac{2}{m}}dt}$$ $${d\theta=\pm\sqrt{\dfrac{k}{m}}dt}$$
$${\theta=\pm\displaystyle\int\sqrt{\dfrac{k}{m}}dt=\pm\sqrt{\dfrac{k}{m}} t+C_2}$$
$${q=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\theta}$$に代入
$${q=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\Big(\pm\sqrt{\dfrac{k}{m}} t+C_2\Big)}$$
初期条件（$${t=0, q=q_0, \dot{q}=0}$$）
このとき $${E=T+U=\dfrac{1}{2}m\dot{q}^2+\dfrac{1}{2}kq^2=\dfrac{1}{2}kq_0^2}$$
$${q_0=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin C_2=\sqrt{\dfrac{2×\dfrac{1}{2}kq_0^2}{k}}\sin C_2=q_0\sin C_2}$$
$${1=\sin C_2, C_2=\dfrac{\pi}{2}}$$
よって
$${q=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}\sin\Big(\pm\sqrt{\dfrac{k}{m}} t+\dfrac{\pi}{2}\Big)=\sqrt{\dfrac{2×\dfrac{1}{2}kq_0^2}{k}}\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t=q_0\cos \sqrt{\dfrac{k}{m}} t}$$
おわりに
事例の通り、Hamilton-Jacobi の偏微分方程式は$${\mathscr{\overline{H}}=0}$$のときの母関数$${W}$$を求める方略である。そして得られた$${W}$$を使って運動方程式を解くのと同等の作業をおこなう。$${\mathscr{H}}$$が分かっていれば､それを H-J eq に入れて$${W}$$が得られ$${p}$$→$${q}$$を求めてどのような運動かが分かる。
しかし､$${\mathscr{H}}$$は$${T,U}$$→$${\mathscr{L}}$$→$${\mathscr{H}}$$の手順で得られる。であれば、このようなまどろっこしい作業をする前から運動の様式はわかっているのではないか。いきなり$${\mathscr{H}}$$だけが分かっているという事態が実際にあるのだろうか。未熟なわたしにはわからない。今後の課題とする。