散逸関数

減衰振動の位相空間でのトラジェクトリーを考えようとしたら､抵抗力の扱いが分からない。遡っていくと､散逸関数というものに突き当たった。
以下に示す。
非保存力を扱うには散逸関数（dissipation function）を導入する。

保存力と非保存力
力$${f}$$には保存力$${f_c}$$と非保存力$${f_d}$$がある。
　$${f=f_c+f_d}$$
保存力$${f_c}$$は仕事Ｗが経路に依存しない。
　例として重力､ばねの力､電気力などがあげられる。　
　$${W_c=\displaystyle\int_{P_1}^{P_2}f_c dq=const}$$
　そのため保存力のみが働くときは力学的エネルギーは保存される。
非保存力$${f_d}$$はそのなす仕事によって時間と共に系の力学的エネルギーが失われていく。
　例として空気抵抗や摩擦などがあげられる。

散逸関数の定義
質点の速度$${v}$$に比例した抵抗力$${f=−bv  (b>0)}$$について，
ある関数$${D(v)}$$から
　$${f=-\dfrac{dD}{dv}=-bv}$$　と求まるように書くことができる。
これを積分して得られる関数が散逸関数である。
　$${D(v)=\displaystyle\int_0^vbv  dv=b\Big[\dfrac{v^2}{2  }\Big]_0^v=b\dfrac{1}{2}v^2=\dfrac{1}{2}b\dot{q}^2}$$  (1)

エネルギーの減損
例えば､ばね（ばね定数$${c}$$）の単振動を考えるとき､重り（質量$${m}$$）に対してその速度$${v}$$に比例する抵抗$${-bv}$$があるとすると
運動方程式は
　$${m\ddot{q}+cq+bv=0}$$ (2)
力学的エネルギーは
　$${T=\dfrac{1}{2}mv^2}$$、$${U=\displaystyle\int_0^xcq  dq=c\Big[\dfrac{q^2}{2 }\Big]_0^q=\dfrac{1}{2}cq^2}$$
　$${E=T+U=\dfrac{1}{2}mv^2+\dfrac{1}{2}cq^2}$$
これを時間で微分すると
　$${\dfrac{dE}{dt}=\dfrac{1}{2}m2v\dfrac{dv}{dt}+\dfrac{1}{2}c2q\dfrac{dq}{dt}=m\dot{q}\ddot{q}+cq\dot{q}=\dot{q}(m\ddot{q}+cq)}$$  ←(2)を代入
　　　$${=\dot{q}(-bv)=-b\dot{q}^2}$$  (1)を代入
　　　$${=-2D}$$  (3)
よって､力学的エネルギー$${E}$$は散逸関数$${D}$$の２倍で減損していく。

Lagrange's eq
非保存力は$${\mathscr{L}(=T-U)}$$に組み込むことが出来ない。
Lagrange's eq を以下のように修正して扱う。
　$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q}}\Big)-\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q}+\dfrac{\partial D}{\partial q}=0}$$  (4)
上の例では
　$${\mathscr{L}＝T-U＝\dfrac{1}{2}mv^2ｰ\dfrac{1}{2}cq^2=\dfrac{1}{2}m\dot{q}^2ｰ\dfrac{1}{2}cq^2}$$  (5)
(1)(5)を(4)に代入
　$${\dfrac{d}{dt}(m\dot{q})-(-cq)+b\dot{q}=0}$$、　$${m\ddot{q}+b\dot{q}+cq=0}$$  (6)
よって (2)と同じ式が得られる。

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