d'Alembert の原理､Hamilton の変分原理からLagrangeの運動方程式へ
Lagrangeの運動方程式の導出はこれで３回目である。（１回目、２回目）
奥が深すぎてよく見えないが、少しずつ光が射してきた。
d'Alembertの原理（加速度系に拡張した仮想仕事の原理）より
$${\displaystyle\sum_{i=1}^f(Q_i-m\ddot{q_i})=0}$$（つりあいの式）
仮想変位を$${\delta q_1}$$、仮想仕事$${\delta W}$$とすると
$${\delta W=\displaystyle\sum_{i=1}^f(Q_i-m\ddot{q_i})\delta q_i=0}$$ (1)
Hamiltonの変分原理より
$${\delta W}$$を区間$${[t_1,t_2]}$$で積分した値が停滞値となる条件は
$${\delta I=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta Wdt=\int_{t_1}^{t_2}0 dt=\Big[const\Big]_{t1}^{t_2}=0}$$ (2) である。
式に(1)を代入すると
$${\delta I=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f(Q_i-m\ddot{q_i})\delta q_idt}$$
$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fQ_i\delta q_idt-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm\ddot{q_i}\delta q_idt}$$
（$${Q_i=-\dfrac{\partial U}{\partial q_i}}$$、第２項は部分積分）
$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\Big(-\dfrac{\partial U}{\partial q_i}\delta q_i\Big)dt-\Big\{\Big[\sum_{i=1}^fm\dot{q_i}\delta q_i\Big]_{t_1}^{t_2}-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm\dot{q_i}\delta\dot{q_i}dt\Big\}}$$
（$${\delta q_i(t_1)=\delta q_i(t_2)=0}$$）
$${=-\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\delta Udt+\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^fm\delta\Big(\dfrac{1}{2}\dot{q_i}^2\Big)dt}$$
$${=-\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} Udt+\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\sum_{i=1}^f\dfrac{1}{2}m\dot{q_i}^2dt}$$ （$${\displaystyle\sum_{i=1}^f\dfrac{1}{2}m\dot{q_i}^2=T}$$）
$${=-\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} Udt+\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}Tdt}$$
$${=\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}(T-U)dt}$$ （$${T-U=\mathscr{L}}$$）
$${=\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}dt}$$
(2)とあわせて
$${\delta I=\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}dt=0}$$（作用積分）
ちなみに$${I=I[\{q_i\}]}$$、$${\mathscr{L}=\mathscr{L}(\{\dot{q_i}\},t)}$$
$${\delta I[\{q_i\}]=\delta\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\mathscr{L}(\{q_i\},\{\dot{q_i}\},t)dt}$$ （$${t}$$は変化せず）
$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}[\mathscr{L}(\{q_i+\delta q_i\},\{\dot{q_i}+\delta\dot{q_i}\},t)-\mathscr{L}(\{q_i\},\{\dot{q_i}\},t)]dt}$$
$${=\displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\Big(\sum_{i=1}^f\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}\delta q_i+\sum_{i=1}^f\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\delta\dot{q_i}\Big)dt}$$
$${=\displaystyle\sum_{i=1}^f\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}\delta q_idt+\sum_{i=1}^f\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\delta\dot{q_i}dt}$$（第2項を部分積分）
$${=\displaystyle\sum_{i=1}^f\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}\delta q_idt+\sum_{i=1}^f\Big\{\Big[\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\delta{q_i}\Big]_{t_1}^{t_2}-\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\Big)\delta{q_i}dt\Big\}}$$
（$${\delta q_i(t_1)=\delta q_i(t_2)=0}$$）
$${=\displaystyle\sum_{i=1}^f\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}\delta q_idt-\sum_{i=1}^f\int_{t_1}^{t_2}\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\Big)\delta{q_i}dt}$$
$${=\displaystyle\sum_{i=1}^f \int_{t_1}^{t_2}\Big\{\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\Big)\Big\}\delta{q_i}dt}$$
よって
$${\delta I=\displaystyle\sum_{i=1}^f \int_{t_1}^{t_2}\Big\{\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\Big)\Big\}\delta{q_i}dt=0}$$
任意の$${\delta q_i}$$に対して成り立つためには
$${\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_i}-\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\Big)=0}$$
書き直して
$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial \mathscr{L}}{\partial \dot{q_i}}\Big)-\dfrac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i}=0}$$ （Lagrangeの運動方程式）
流れをまとめると
$${\fbox{仮想仕事の原理（静力学）}}$$
↓ $${\bm{Q}+\bm{R}=\bm{0}}$$ 外力と束縛力のつり合い
↓ $${\delta W=(\bm{Q}+\bm{R})･\delta\bm{q}= ・・ =\bm{Q}･\delta\bm{q}=0}$$
$${\fbox{d'Alembert の原理（動力学への拡張）}}$$
↓ $${\sum(Q_i-m\ddot{q_i})=0}$$ Newton's 2nd law
↓ $${\delta W=\sum(Q_i-m\ddot{q_i})･\delta q_i=0}$$
$${\fbox{Hamilton の変分原理}}$$
↓ $${\delta{I}=\displaystyle\int_{}^{}\delta{W}dt=0}$$
↓ ・・・
↓ $${\delta{I}=\delta\displaystyle\int_{}^{}\mathscr{L}dt=0}$$
↓ ・・・
↓ $${\delta{I}=\displaystyle\sum\int\Big\{\dfrac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i}-\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\Big)\Big\}dt=0}$$
$${\fbox{Lagrange の運動方程式}}$$
$${\dfrac{d}{dt}\Big(\dfrac{\partial\mathscr{L}}{\partial\dot{q_i}}\Big)-\dfrac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_i}=0}$$ となる。