無限小変換
式の導出
$${W=\displaystyle\sum_{i=1}^f q_iP_i}$$(1)を母関数とする正準変換は
$${p_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial q_i}}$$ (2) $${Q_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial P_i}}$$ (3)
（正準変換の母関数の(ii)$${W=W_2(\{qi\},\{Pi\},t)}$$）
であり、それぞれに(1)を代入すると
$${p_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial q_i}=\dfrac{\partial}{\partial q_i}\displaystyle\sum_{i=1}^f q_iP_i=P_i}$$、$${Q_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial P_i}=\dfrac{\partial}{\partial P_i}\displaystyle\sum_{i=1}^f q_iP_i=q_i}$$
つまり
$${\{q_i\}\rightarrow \{Q_i\}}$$、$${\{p_i\}\rightarrow \{P_i\}}$$
となるまったく変化のない変換であり､恒等変換といわれる。
（母関数→変換の式 例４）
いま$${\epsilon}$$を小さな数として
$${q_i\rightarrow Q_i=q_i+\epsilon\phi_i}$$ (4)
$${p_i\rightarrow P_i=p_i+\epsilon\psi_i}$$ (5) となる変換を考える。
（$${\epsilon}$$を無限小パラメータという）
$${F=W(\{q_i\},\{P_i\})+\epsilon G(\{q_i\},\{P_i\})}$$とおき、(1)を代入すると
$${F=\displaystyle\sum_{i=1}^f q_iP_i+\epsilon G(\{q_i\},\{P_i\})}$$ (6) である。
これを母関数とする正準変換は
(2)より
$${p_i=\dfrac{\partial F}{\partial q_i}}$$ ← (6)を代入
$${=\dfrac{\partial}{\partial q_i}\Big\{\displaystyle\sum_{i=1}^f q_iP_i+\epsilon G(\{q_i\},\{P_i\})\Big\}}$$
$${=P_i+\epsilon\dfrac{\partial}{\partial q_i} G(\{q_i\},\{P_i\})}$$ ← (5)を代入
$${=P_i+\epsilon\dfrac{\partial}{\partial q_i} G(\{q_i\},\{p_i+\epsilon\psi_i\})}$$←多変数のテイラー展開(近似のワザ４)
$${=P_i+\epsilon\dfrac{\partial}{\partial q_i}\Big\{G(\{q_i\},\{p_i\})+\epsilon\psi_i\dfrac{\partial}{\partial p_i}G(\{q_i\},\{p_i\})\Big\}}$$
$${=P_i+\epsilon\dfrac{\partial}{\partial q_i}G(\{q_i\},\{p_i\})+\underline{\epsilon^2\psi_i\dfrac{\partial^2}{\partial q_i\partial p_i}G(\{q_i\},\{p_i\})}}$$
← $${\epsilon^2}$$の項をオミット
$${=P_i+\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$ (7)
(3)より
$${Q_i=\dfrac{\partial F}{\partial P_i}}$$ ← (6)を代入
$${=\dfrac{\partial}{\partial P_i}\Big\{\displaystyle\sum_{i=1}^f q_iP_i+\epsilon G(\{q_i\},\{p_i+\epsilon\psi_i\})\Big\}}$$ ← (5)を代入
$${=q_i+\epsilon \dfrac{\partial}{\partial P_i}G(\{q_i\},\{p_i+\epsilon\psi_i\})}$$ ←多変数のテイラー展開
$${=q_i+\epsilon \dfrac{\partial}{\partial P_i}\Big\{G(\{q_i\},\{p_i\})+\epsilon\psi_i\dfrac{\partial}{\partial p_i}G(\{q_i\},\{p_i\})\Big\}}$$
$${=q_i+\epsilon \underline{\dfrac{\partial p_i}{\partial P_i}}\dfrac{\partial}{\partial p_i}\Big\{G(\{q_i\},\{p_i\})+\epsilon\psi_i\dfrac{\partial}{\partial p_i}G(\{q_i\},\{p_i\})\Big\}}$$
← (5)$${p_i\rightarrow P_i=p_i+\epsilon\psi_i}$$より 下線$${=1}$$
$${=q_i+\epsilon\dfrac{\partial}{\partial p_i}G(\{q_i\},\{p_i\})+\underline{\epsilon^2\psi_i\dfrac{\partial^2}{\partial p_i^2}G(\{q_i\},\{p_i\})}}$$
← $${\epsilon^2}$$の項をオミット
$${=q_i+\epsilon\dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$ (8)
(4)$${Q_i=q_i+\epsilon\phi_i}$$、(8)$${Q_i=q_i+\epsilon\dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$より $${\phi_i=\dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$ (9)
(5)$${P_i=p_i+\epsilon\psi_i}$$、(7)$${p_i=P_i+\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$より $${\psi_i=-\dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$ (10)
結果を次にまとめる。
無限小変換の公式
$${(q_i,p_i)\rightarrow (q_i+\epsilon\phi_i, p_i+\epsilon\psi_i)}$$の変換 $${\phi_i=\dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$ (9)、$${\psi_i=-\dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$ (10)
あるいは
$${(q_i,p_i)\rightarrow (q_i+dq_i, p_i+dp_i)}$$では $${dq_i=\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$(11)､$${dp_i=-\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$(12)
$${G}$$を無限小変換の母関数という。
無限小パラメータ ε の適用
i) 微小時間の変化のときは $${\epsilon=dt}$$
ii) 微小空間の変化のときは $${\epsilon=dq_i}$$
iii)微小回転の変化のときは $${\epsilon=d\theta}$$ である。
i) 微小時間の変化のとき（$${\epsilon=dt}$$）
(11)(12)は
$${dq_i=dt\dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$、 よって$${\dfrac{dq_i}{dt}=\dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$ (11)'
$${dp_i=-dt\dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$、よって$${\dfrac{dp_i}{dt}=-\dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$ (12)'
これは正準方程式 $${\dfrac{dq_i}{dt}=\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial p_i}}$$、$${\dfrac{dp_i}{dt}=-\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial q_i}}$$ と同じ形である。
つまり $${G=\mathscr{H}}$$
無限小変換$${(q_i, p_i)\rightarrow(q_i+dq_i, p_i+dp_i)}$$はHamiltonianを母関数とする
正準変換である。（微小正準変換とも呼ぶ）
位相空間上では、無限小変換は微小な時間$${dt}$$の間に微小な運動$${(q_i, p_i)}$$
$${\rightarrow}$$$${(q_i+dq_i, p_i+dp_i)}$$をしながらトラジェクトリー上を移動していく。
運動は瞬間から次の瞬間へ無限小変換を次々に続けて行った結果である。
一般の物理量$${F(\{q_i\},\{p_i\})}$$について全微分すると
$${dF=\displaystyle\sum_{i=1}^f\Big(\dfrac{\partial F}{\partial q_i}dq_i+\dfrac{\partial F}{\partial p_i}dp_i\Big)}$$ ←(11)(12)を代入
$${=\displaystyle\sum_{i=1}^f\Big\{\dfrac{\partial F}{\partial q_i}×\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial p_i}+\dfrac{\partial F}{\partial p_i}×\Big(-\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_i}\Big)\Big\}}$$
$${=\epsilon\displaystyle\sum_{i=1}^f\Big(\dfrac{\partial F}{\partial q_i}\dfrac{\partial G}{\partial p_i}-\dfrac{\partial F}{\partial p_i}\dfrac{\partial G}{\partial q_i}\Big)=\epsilon\{F,G\}_{q,p}}$$ ← $${\epsilon=dt}$$を代入
$${=dt\{F,G\}}$$
よって$${\dfrac{dF}{dt}=\{F,G\}_{q,p}}$$
これは$${F}$$が$${t}$$を陽に含まないときの式である。（→ Poisson括弧式）
ii) 微小空間の変化のとき（空間併進、$${\epsilon=dq_i}$$）
$${\{q_i\}\rightarrow\{q_i+dq_i\}}$$
このとき運動量の変化はない。$${\{dp_i\}=0}$$
(11)(12)に$${\epsilon=dq_i}$$を代入
$${dq_i=\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial p_i}=dq_i\dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$、 よって $${\dfrac{\partial G}{\partial p_i}=0}$$ (13)
$${dp_i=0=\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_i}=dq_i\dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$、 よって $${\dfrac{\partial G}{\partial q_i}=0}$$ (14)($${G}$$は$${q_i}$$を含まず)
(13)は$${\dfrac{dG}{dp_i}=0}$$なので $${G=\displaystyle\sum_{i=1}^fp_i}$$ (15)
よって 空間並進の無限小変換の母関数は運動量である。
iii) 微小回転の変化のとき（回転併進、$${\epsilon=d\theta}$$）
２次元で考える。
$${q_1,q_2}$$の座標で表された座標系を微小な角度$${d\theta}$$だけ回転させるときの
$${(q_1, q_2)\rightarrow}$$$${(q_1+dq_1,q_2+dq_2)}$$の変化を考える。
$${\begin{bmatrix}q_1+dq_1\\q_2+dq_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\cos d\theta -\sin d\theta\\\sin d\theta \cos d\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}}$$ ← $${d\theta=\epsilon}$$
$${=\begin{bmatrix}\cos \epsilon -\sin \epsilon\\\sin\epsilon \cos \epsilon\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}}$$ ← $${\cos\epsilon\fallingdotseq 1, \sin\epsilon\fallingdotseq \epsilon}$$
$${=\begin{bmatrix}1 -\epsilon\\\epsilon 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}q_1-\epsilon q_2\\\epsilon q_1+q_2\end{bmatrix}}$$
両辺から$${\begin{bmatrix}q_1\\q_2\end{bmatrix}}$$を引くと $${\begin{bmatrix}dq_1\\dq_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\epsilon q_2\\\epsilon q_1\end{bmatrix}}$$ (16)
更に両辺を微分して$${m}$$を掛けると $${\begin{bmatrix}m d\dot{q_1}\\m \dot{dq_2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\epsilon m \dot{q_2}\\\epsilon m\dot{ q_2}\end{bmatrix}}$$
$${m\dot{q_i}=p_i}$$なので $${ \begin{bmatrix}dp_1\\dp_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\epsilon p_2\\\epsilon p_1\end{bmatrix}}$$ (17)
(11)$${dq_i=\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial p_i}}$$より
$${dq_1=\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial p_1}}$$、$${dq_2=\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial p_2}}$$
それぞれを(16)と比較して$${\dfrac{\partial G}{\partial p_1}=-q_2}$$(18)（$${G}$$に$${-q_2p_1}$$の項がある）
$${ \dfrac{\partial G}{\partial p_2}=q_1}$$(19)（$${G}$$に$${q_1p_2}$$の項がある）
(12)$${dp_i=-\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_i}}$$より
$${dp_1=-\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_1}, dp_2=-\epsilon \dfrac{\partial G}{\partial q_2}}$$
それぞれを(17)と比較して$${\dfrac{\partial G}{\partial q_1}=p_2}$$(20)（$${G}$$に$${q_1p_2}$$の項がある）
$${\dfrac{\partial G}{\partial q_2}=-p_1}$$(21)（$${G}$$に$${-q_2p_1}$$の項がある）
よって、 (18)(19)(20)(21)を満たす解は$${G=q_1p_2-q_2p_1}$$ (22) である。
ところで
$${\bm{r}=[q_1,q_2,0], \bm{p}=[p_1,p_2,0]}$$のときの角運動量は
$${\bm{L}=\bm{r}×\bm{p}=[q_1,q_2,0]×[p_1,p_2,0]=[0,0,q_1p_2-q_2p_1]=[0,0,G]}$$
であり､$${G}$$は$${z}$$軸周りの角運動量成分$${L_z}$$に一致する。
よって、回転並進の無限小変換の母関数は角運動量である。