公式、数式変形、近似、ワザなど
力学の数式を扱うときによく出会う公式、式変形、近似の技などをあげてみた。
1 d2x/dt2 とd2y/dt2 の複合式→それぞれの式
具体的には
$${m\Bigl(\dfrac{d^2x}{dt^2}\sinθ+\dfrac{d^2y}{dt^2}\cosθ\Bigl)=‥‥}$$
$${m\Bigl(-\dfrac{d^2x}{dt^2}\cosθ+\dfrac{d^2y}{dt^2}\sinθ\Bigl)=‥‥}$$
から
$${m\dfrac{d^2x}{dt^2}=‥‥}$$
$${m\dfrac{d^2y}{dt^2}=‥‥}$$ を導くということである。
運動方程式を回転系に座標変換するときに出てくるが、2つの方法がある。
1-1. それぞれにsinθ、cosθ をかけて足し算する
1-2. 連立方程式として解く
2 sinθ = θ
θ＜14°なら誤差1%以内である。
詳しくは https://note.com/greedyoldman/n/n2875db49d732 を参照。
3 マクローリン展開
展開後、高次の項をオミットする。これで式が一気に簡単になる。
$${f(x)=f(0)+f'(0)x+\dfrac{1}{2!}f''(0)x^2+‥+\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(0)x^n+‥}$$
上述の$${\sin\theta=\theta}$$は
$${\sin{\theta}=\sin{0}+\cos0･\theta-\dfrac{1}{2!}\sin{0}･\theta^2-\dfrac{1}{3!}\cos0･\theta^3}$$
$${+\dfrac{1}{4!}\sin0･\theta^4+\dfrac{1}{5!}\cos0･\theta^5-\dfrac{1}{6!}\sin0･\theta^6+‥‥}$$
$${=\theta-\dfrac{1}{6}\theta^3+\dfrac{1}{120}\theta^5+‥‥\approx\theta}$$
$${\cos{\theta}=\cos{0}-\sin0･\theta-\dfrac{1}{2!}\cos0･\theta^2+\dfrac{1}{3!}\sin0･\theta^3+\dfrac{1}{4!}\cos0･\theta^4+ …. }$$
$${=1-\dfrac{1}{2}\theta^2+\dfrac{1}{24}\theta^4+ …. \approx1-\dfrac{1}{2}\theta^2}$$
4 次数の高い項をオミット
$${x}$$が１より十分小さいことが前提である。
5 Eulerの公式
$${e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}$$
$${\cos{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \sin{\theta}=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}}$$
5 微分式の変形
$${x\ddot{y}-\ddot{x}y=x\ddot{y}+\dot{x}\dot{y}-(\dot{x}\dot{y}-\ddot{x}y)=(x\dot{y}-\dot{x}y)'}$$
$${\dot{x}\ddot{x}=\Bigl(\dfrac{1}{2}\dot{x}^2\Bigl)'}$$
6 全微分
$${df=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial q_i}dq_i=\dfrac{\partial f}{\partial q_1}dq_1+\dfrac{\partial f}{\partial q_2}dq_2+‥‥‥+\dfrac{\partial f}{\partial q_n}dq_n}$$
$${\dfrac{df}{dt}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial q_i}\dfrac{dq_i}{dt}=\dfrac{\partial f}{\partial q_1}\dfrac{dq_1}{dt}+\dfrac{\partial f}{\partial q_2}\dfrac{dq_2}{dt}+‥‥‥+\dfrac{\partial f}{\partial q_n}\dfrac{dq_n}{dt}}$$
$${=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial q_i}d\dot{q_i}=\dfrac{\partial f}{\partial q_1}\dot{q_1}+\dfrac{\partial f}{\partial q_2}\dot{q_2}+‥‥‥+\dfrac{\partial f}{\partial q_n}\dot{q_n}}$$
$${\dot{f}=\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial q_i}d\dot{q_i}=\dfrac{\partial f}{\partial q_1}\dot{q_1}+\dfrac{\partial f}{\partial q_2}\dot{q_2}+‥‥‥+\dfrac{\partial f}{\partial q_n}\dot{q_n}}$$
$${\dfrac{\partial\dot{f}}{\partial\dot{q_i}}=\dfrac{\partial}{\partial{\dot{q_i}}}\Big(\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac{\partial f}{\partial q_i}d\dot{q_i}\Big)=\dfrac{\partial}{\partial{\dot{q_i}}}\Big(\dfrac{\partial f}{\partial q_1}d\dot{q_1}+\dfrac{\partial f}{\partial q_2}d\dot{q_2}+‥‥+\dfrac{\partial f}{\partial q_n}d\dot{q_n}\Big)=\dfrac{\partial{f}}{\partial{q_i}}}$$
7 座標系の回転
7-1 ２次元座標の回転
$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\theta \sin\theta\\-\sin\theta \cos\theta\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=R(\theta)\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$$
7-2 ３次元座標の回転
$${\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos{ψ} \sin{ψ} 0\\-\sin{ψ} \cos{ψ} 0\\ 0 0 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos{θ} 0 -\sin{θ}\\ 0 1 0\\ \sin{θ} 0 \cos{θ}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos{φ} \sin{φ} 0\\-\sin{φ} \cos{φ} 0\\ 0 0 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$$
$${=\begin{bmatrix} \cos{ψ} \cos{θ} \sin{ψ} -\cos{ψ}\sin{θ}\\-\sin{ψ}\cos{θ} \cos{ψ} \sin{ψ}\sin{θ}\\ \sin{θ} 0 \cos{θ}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \cos{φ} \sin{φ} 0\\-\sin{φ} \cos{φ} 0\\ 0 0 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}$$
8 d2θ/dt2=-ωθ 形の微分方程式の解法
$${\dfrac{d^2\theta}{dt^2}=-ω\theta}$$の解法を示す。
8-1 θ=e^(λt)とおく
$${\theta=e^{λt}}$$、$${\ddot{\theta}=λ^2e^{λt}}$$を代入、$${e^{λt}}$$を消去し$${λ}$$の特性方程式を解く。得た$${λ}$$から得た一般解の線形結合が解である。Eulerの公式を使って三角関数の形式に直すことが多い。
8-2 dθ/dtをかける
式に$${\dfrac{d\theta}{dt}}$$をかけて整理したものを積分し、得た$${\dfrac{d\theta}{dt}}$$についての２次方程式を解く。$${\dfrac{d\theta}{dt}=〇}$$（同次形１階微分方程式）を解く。
8-3 sinθ、cosθをかける
$${\sin{〇ωt}}$$､$${\cos{〇ωt}}$$をかけて整理したものをそれぞれ積分した式を$${\theta,\dot{\theta}}$$の連立方程式として$${\theta}$$を求める。
8 重力加速度とは
地球の半径を$${R}$$､質量を$${M}$$､ある物体の地表からの高さを$${h}$$､質量を$${m}$$とする。
万有引力定数を$${G}$$ とすると､物体に働く万有引力は $${F=G\dfrac{Mm}{(R+h)^2}}$$
重力加速度を$${g}$$とすると､ニュートンの第2法則より $${F=mg}$$
両式をあわせて
$${mg=\dfrac{GMm}{(R+h)^2}=\dfrac{GMm}{R^2}}$$ （← $${R\gg h}$$ なので $${R+h\approx R}$$）
よって$${g=\dfrac{GM}{R^2}}$$
9 積分して微分
$${\dfrac{d}{dt}\displaystyle\int_0^xF(x)dx=F(x)}$$ ただし、逆の微分して積分は成り立たない。
10 ３次元ベクトルの外積の成分表示
11 テイラー展開
１変数の場合
$${f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)}$$
$${+\dfrac{1}{2!}f''(x_0)(x-x_0)^2+ … +\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}$$
$${x=x_0}$$のときがマクローリン展開である。
$${f(x)=f(0)+f'(0)(x)+\dfrac{1}{2!}f''0)(x)^2+ … +\dfrac{1}{n!}f^{(n)}(0)(x)^n}$$
多変数の場合
$${f(x+a, y+b)=f(x,y)+\Big(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial x}\Big)f(x,y)}$$
$${+\dfrac{1}{2!}\Big(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial x}\Big)^2f(x,y)+ … +\dfrac{1}{n!}\Big(a\dfrac{\partial}{\partial x}+b\dfrac{\partial}{\partial x}\Big)^nf(x,y)}$$
$${f(x+a, y+b)=f(x,y)+\dfrac{\partial f}{\partial x}a+\dfrac{\partial f}{\partial x}b}$$
$${+\dfrac{1}{2!}\Big(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}a^2+\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y}ab+\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}b^2\Big)}$$
$${+ … +\dfrac{1}{n!}\Big(\dfrac{\partial^nf}{\partial x^n}a^n+\dfrac{\partial^{n-1}f}{\partial x^{n-1}\partial y}a^{n-1}b+ … +\dfrac{\partial^nf}{\partial y^n}b^n\Big)}$$