逆行列の算出(3×3)

余因子行列から出すのと掃き出しの２通りの方法がある。以下に算出の例を示す。

１ 余因子行列から
$${A=\begin{bmatrix}a_{11}   a_{12}   a_{13}\\a_{21}   a_{22}   a_{23}\\a_{31}   a_{32}   a_{33}\end{bmatrix}}$$のとき、$${A}$$が正則（$${\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}\neq0}$$）であれば
$${A_{ij}}$$を$${a_{ij}}$$の余因子とすると、余因子行列$${\widetilde{A}}$$は
　$${\widetilde{A}=\begin{matrix}\\\\\\\end{matrix}^t \!\!\begin{bmatrix}A_{11}   A_{12}   A_{13}\\A_{21}   A_{22}   A_{23}\\A_{31}   A_{32}   A_{33}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_{11}   A_{21}   A_{31}\\A_{12}   A_{22}   A_{32}\\A_{13}   A_{23}   A_{33}\end{bmatrix}}$$
逆行列$${{A}^{-1}}$$は
　$${{A}^{-1}=\dfrac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\widetilde{A}=\dfrac{1}{\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}\begin{bmatrix}A_{11}   A_{21}   A_{31}\\A_{12}   A_{22}   A_{32}\\A_{13}   A_{23}   A_{33}\end{bmatrix}}$$である。

３次元座標において、極座標$${(r,\theta,\phi)}$$ → 直交座標$${(x,y,z)}$$は
　$${\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi      \cos\theta\cos\phi   -\sin\phi\\\sin\theta\sin\phi     \cos\theta\sin\phi           \cos\phi \\\cos\theta                      -\sin\theta                          0          \end{bmatrix}\begin{bmatrix}r\\\theta\\\phi\end{bmatrix}=A\begin{bmatrix}r\\\theta\\\phi\end{bmatrix}}$$であるが、
$${A}$$の逆行列を求め、直交座標$${(x,y,z)}$$ → 極座標$${(r,\theta,\phi)}$$の変換式を導く。

よって　　$${\begin{bmatrix}r\\\theta\\\phi\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\sin\theta\cos\phi              \sin\theta\sin\phi              \cos\phi\\\cos\theta\cos\phi           \cos\theta\sin\phi        -\sin\phi\\-\sin\theta                          \cos\theta                              0    \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z \end{bmatrix}}$$

２ 掃き出し法
それぞれの段の１を出すための３つの段の合成の式がそのまま逆行列になっている。

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