母関数→変換の式
正準変換の母関数で母関数$${W}$$の変数タイプ別の変換の式と$${\mathscr{\overline{H}}}$$を求めた。
i) $${W=W_1(\{q_i\}, \{Q_i\}, t)}$$のとき
$${p_i=\dfrac{\partial W_1}{\partial q_i}}$$(i-1) $${P_i=-\dfrac{\partial W_1}{\partial Q_i}}$$(i-2) $${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H}+\dfrac{\partial W_1}{\partial t}}$$(i-3)
ii) $${W=W_2(\{q_i\},\{P_i\},t)}$$のとき
$${p_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial q_i}}$$(ii-2) $${Q_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial P_i}}$$(ii-3) $${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H}+\dfrac{\partial W_2}{\partial t}}$$ (ii-4)
iii) $${W=W_3(\{p_i\},\{Q_i\},t)}$$のとき
$${q_i=-\dfrac{\partial W_3}{\partial p_i}}$$(iii-2) $${P_i=-\dfrac{\partial W_3}{\partial Q_i}}$$(iii-3) $${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H}+\dfrac{\partial W_3}{\partial t}}$$ (iii-4)
iv) $${W=W_4(\{p_i\},\{P_i\},t)}$$のとき
$${q_i=-\dfrac{\partial W_4}{\partial p_i}}$$(iv-2) $${Q_i=\dfrac{\partial W_4}{\partial P_i}}$$(iv-3) $${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H}+\dfrac{\partial W_4}{\partial t}}$$ (iv-4)
（$${W_1,W_2,W_3,W_4}$$に$${t}$$が陽に含まれなければ $${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H}}$$）
では母関数から変換の式を算出する。
例１）$${\bm{W=\dfrac{1}{2}q^2\cot Q}}$$
i) $${W=W_1(\{q_i\}, \{Q_i\}, t)}$$型である。
$${p=\dfrac{\partial W_1}{\partial q}=\dfrac{\partial}{\partial q}\Big(\dfrac{1}{2}q^2\cot Q\Big)=q\cot Q}$$ (1-1)
$${P=-\dfrac{\partial W_1}{\partial Q}=-\dfrac{\partial}{\partial Q}\Big(\dfrac{1}{2}q^2\cot Q\Big)=-\dfrac{1}{2}q^2\dfrac{\partial}{\partial Q}\{\cos Q (\sin Q)^{-1}\}}$$
$${=-\dfrac{1}{2}q^2\{(-\sin Q)(\sin Q)^{-1}+\cos Q(-1)(\sin Q)^{-2}\cos Q\}}$$
$${=-\dfrac{1}{2}q^2\Big\{-1-\dfrac{\cos^2 Q}{\sin^2Q}\Big\}=\dfrac{1}{2}q^2\Big(\dfrac{\sin^2 Q+\cos^2 Q}{\sin^2Q}\Big)=\dfrac{q^2}{2\sin^2Q}}$$ (1-2)
(1-2)より$${q^2=2P\sin^2Q}$$ よって$${q=\sqrt{2P}\sin Q}$$ (1-q)
(1-q)を(1-1)に代入
$${p=q\cot Q=\sqrt{2P}\sin Q\dfrac{\cos Q}{\sin Q}=\sqrt{2P}\cos Q}$$ (1-p)
この変換は､単振動の正準変換の「３直線への変換」（Poincaré 変換）で
ある。
新たな$${\mathscr{\overline{H}}(=\mathscr{{H}})}$$が正準方程式$${\dfrac{dQ_i}{dt}=\dfrac{\partial\overline{\mathscr{H}}}{\partial P_i}, \dfrac{dP_i}{dt}=-\dfrac{\partial\mathscr{\overline{H}}}{\partial P_i}}$$を満たす
ことはすでに確認した。
例２）$${\bm{W=e^{q-Q}}}$$
i) $${W=W_1(\{q_i\}, \{Q_i\}, t)}$$型である。
$${p=\dfrac{\partial W_1}{\partial q}=\dfrac{\partial}{\partial q}(e^{q-Q})=\dfrac{\partial}{\partial(q-Q)}(e^{q-Q})\dfrac{\partial(q-Q)}{\partial q}=e^{q-Q}}$$ (2-1)
$${P=-\dfrac{\partial W_1}{\partial Q}=-\dfrac{\partial}{\partial Q}(e^{q-Q})=-\dfrac{\partial}{\partial(q-Q)}(e^{q-Q})\dfrac{\partial(q-Q)}{\partial Q}}$$
$${=-e^{q-Q}×(-1)=e^{q-Q}}$$ (2-2)
(2-2)の両辺の対数をとって$${\log P=q-Q}$$ よって$${q=Q+\log P}$$ (2-q)
(2-1)(2-2)より p=P (2-p)
単振動の正準変換の「５ q=Q+logP, p=P」である。
これも$${\mathscr{\overline{H}}}$$は正準方程式を満たす。
例３）$${\bm{\mathscr{H}=p^2-q, W=p(Q+2)}}$$
iii) $${W=W_3(\{p_i\},\{Q_i\},t)}$$型である。
$${q=-\dfrac{\partial W_3}{\partial p}=-\dfrac{\partial}{\partial p}\{p(Q+2)\}=-(Q+2)=-Q-2}$$ (3-q)
$${P=-\dfrac{\partial W_3}{\partial Q}=-\dfrac{\partial}{\partial Q}\{p(Q+2)\}=-p}$$ よって$${p=-P}$$ (3-p)
$${\mathscr{\overline{H}}=\mathscr{H}+\dfrac{\partial W_3}{\partial t}=p^2-q}$$ ←(3-q)(3-p)を代入
$${=(-P)^2-(-Q-2)=P^2+Q+2}$$ (3-H)
Hamilton の正準方程式を満たすことを確認しておく。
$${\dot{Q}}$$について
(3-q)より$${Q=-q-2}$$
よって$${\dot{Q}=-\dot{q}=-\dfrac{dq}{dt}=-\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial p}=-\dfrac{\partial}{\partial p}(p^2-q)=-2p}$$ (3-Q'-1)
(3-H)より$${\dot{Q}=\dfrac{dQ}{dt}=\dfrac{\partial\mathscr{\overline{H}}}{\partial P}=\dfrac{\partial}{\partial P}(P^2+Q+2)=2P}$$ ←(3-q)を代入
$${=-2p}$$ (3-Q'-2) よって(3-Q'-1)＝(3-Q'-2)
$${\dot{P}}$$について
(3-P)より$${P=-p}$$
よって$${\dot{P}=-\dot{p}=-\dfrac{dp}{dt}=\dfrac{\partial\mathscr{H}}{\partial q}=\dfrac{\partial}{\partial q}(p^2-q)=-1}$$ (3-P'-1)
(3-H)より$${\dot{P}=\dfrac{dP}{dt}=-\dfrac{\partial\mathscr{\overline{H}}}{\partial Q}=-\dfrac{\partial}{\partial Q}(P^2+Q+2)=-1}$$ (3-P'-2)
よって(3-P'-1)＝(3-P'-2)
というわけで Hamiltonの正準方程式は成り立つ。
例４）$${\bm{W=\displaystyle\sum_{i=1}^fP_iq_i}}$$
ii) $${W=W_2(\{q_i\},\{P_i\},t)}$$型である。
$${p_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial q_i}=\dfrac{\partial}{\partial q_i}\displaystyle\sum_{i=1}^fP_iq_i=P_i}$$ (4-p)
$${Q_i=\dfrac{\partial W_2}{\partial P_i}=\dfrac{\partial}{\partial P_i}\displaystyle\sum_{i=1}^fP_iq_i=q_i}$$ (4-q)
小文字$${q_i, p_i}$$ → 大文字$${Q_i, P_i}$$である。
まったく変化のない変換である。これを恒等変換という。
当然 Hamiltonの正準方程式は成り立つ。