【院試解答】東大院 情報理工 数学 2020年度 第2問【膨張凸集合の面積】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．この記事では2020年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

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※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

$$
\begin{aligned}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}s}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}s}\right)^2}&=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\right)^2}\\&=\left|\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\right|\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}\\&=\frac{1}{\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}\end{aligned}
$$

である．ここで

$$
s(t)=\int_a^t\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}\mathrm{d}t
$$

より

$$
\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}
$$

である．よって

$$
\begin{aligned}\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}s}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}s}\right)^2}&=\frac{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}}{\sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}\right)^2+\left(\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}\right)^2}}\\&=1\end{aligned}
$$

である．

解説

$${s}$$は弧長とも呼ばれます．曲線$${\boldsymbol{p}}$$を$${s}$$で微分した接線ベクトル$${\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{p}}{\mathrm{d}s}}$$の大きさが1であることを示す問題です．この接線ベクトルは単位接線ベクトルであるということがわかります．