【院試解答】東大院 工学系 数学 2024年度 第3問【複素解析】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2024年度の数学（一般教育科目）第3問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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©︎ 2024 院試対策室, GOSHOURAKU Hirokouji

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I.

解答

$$
\begin{aligned}
&\quad z\bar{z}+\sqrt{2}(z+\bar{z})+3i(z-\bar{z})+2\\
&=(z+\sqrt{2}-3i)(\bar{z}+\sqrt{2}+3i)-9\\
&=(z+\sqrt{2}-3i)\overline{(z+\sqrt{2}+3i)}-9\\
&=|z+\sqrt{2}-3i|^2-9\\
\end{aligned}
$$

となるので，与不等式(1)は

$$
|z+\sqrt{2}-3i|^2\le 9
$$

$$
\therefore |z+\sqrt{2}-3i|\le 3
$$

となる．これは点$${-\sqrt{2}+3i}$$を中心とする半径3の円およびその内部を表すので，図示すると下図のようになる．

解説

複素数の式が満たす領域を図示する問題です．共役複素数と絶対値の関係を用います．わからない場合は$${z=x+iy~(x,y\in\mathbb{R})}$$とおき，実数の式に持ち込めばよいです．