【院試解答】東大院 工学系 数学 2023年度 第3問【複素解析】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第3問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.1

解答

$${z=e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}$$と置くと

$$
\begin{aligned}
z^6&=-1\\
e^{6i\theta}&=e^{i\pi+2ki\pi}\quad(k=0,\dots,5)\\
6i\theta&=i\pi+2ki\pi\\
\theta&=\frac{1+2k}{6}\pi\\
&=\frac{1}{6}\pi,\frac{3}{6}\pi,\frac{5}{6}\pi,\frac{7}{6}\pi,\frac{9}{6}\pi,\frac{11}{6}\pi
\end{aligned}
$$

となる．よって，$${f(z)}$$の特異点は

$$
z=\pm i,\frac{\pm\sqrt{3}\pm i}{2}\quad(\text{複号任意})\tag{答}
$$

であり，すべて1位の極である．

解説

特異点を複素平面上に図示すると下図のようになります．

特異点