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【院試解答】東大院 情報理工 数学 2020年度 第3問【秘書問題】
東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です.この記事では2020年度の数学(一般教育科目)第3問について解答・解説します.問題は研究科のWebサイトから見ることができます.
※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません.正確性についての保証は致しかねます.
(1)
4人の候補者を面接する順番の総数は
$$
4!=24\text{(通り)}
$$
である.$${k}$$回目の面接で絶対的順位1の候補者を採用する場合の数を$${C_k~(2\le k\le 4)}$$とする.$${C_2}$$は,1回目で(絶対的)順位2,3,4のいずれかの候補者を面接し,3,4回目で残りの2人の候補者を面接すればよいから
$$
\begin{aligned}C_2&=3!\\&=6\text{(通り)}\end{aligned}
$$
である.$${C_3}$$は,1,2回目で順位2,3,4のうちの候補者2人を昇順に面接し,4回目に残り1人の候補者を面接すればよいから
$$
\begin{aligned}C_3&={}_3\mathrm{C}_2\\&=3\text{(通り)}\end{aligned}
$$
である.$${C_4}$$は,1回目で順位2の候補者を面接し,2,3回目で順位3,4の候補者を順不同で面接すればよいから
$$
\begin{aligned}C_4&=2!\\&=2\text{(通り)}\end{aligned}
$$
である.よって,求める確率は
$$
\begin{aligned}P_4(2)&=\frac{C_2+C_3+C_4}{24}\\&=\frac{6+3+2}{24}\end{aligned}
$$
$$
\therefore P_4(2)=\frac{11}{24}\tag{答}
$$
である.
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