【院試解答】東大院 工学系 数学 2023年度 第5問【フーリエ級数展開】

東京大学大学院 工学系研究科の入試過去問の解答例です．2023年度の数学（一般教育科目）第5問について解答・解説します．問題は研究科のWebサイトから見ることができます．

一般入試

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この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

I.1

解答

$${f(x)=x}$$は奇関数であるから

$$
a_0=0
$$

となる．また，$${f(x)\cos nx=x\cos nx}$$も奇関数であるから

$$
a_n=0
$$

となる．

さて，$${b_n}$$を求めると

$$
\begin{aligned}
b_n
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x\\
&=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x\sin nx\,\mathrm{d}x\\
&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\sin nx\,\mathrm{d}x\\
&=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi x\left(-\frac{\cos nx}{n}\right)'\mathrm{d}x\\
&=\frac{2}{\pi}\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_0^\pi-\frac{2}{\pi}\int_0^\pi 1\cdot\left(-\frac{\cos nx}{n}\right)\mathrm{d}x\\
&=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi\cos n\pi}{n}\right)-0\\
&=\frac{2(-1)^{n+1}}{n}
\end{aligned}
$$

となる．よって，$${f(x)}$$のフーリエ級数展開は

$$
f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac{2(-1)^{n+1}}{n}\sin nx\tag{答}
$$

である．

解説

周期$${2\pi}$$の関数$${f(x)}$$をフーリエ級数展開する問題です．フーリエ正弦係数$${b_n}$$は部分積分で求められます．