【院試解答】東大院 情報理工 数学 2016年度 第2問【オイラー・ラグランジュ方程式】

東京大学大学院 情報理工学系研究科の入試過去問の解答例です．この記事では2016（平成28）年度の数学（一般教育科目）第2問について解答・解説します．

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※この解答例は大学院・研究科に認められたものではありません．正確性についての保証は致しかねます．

(1)

解答

筒状図形の$${1/4}$$である$${y\gt 0,z\gt 0}$$の部分を考える．この部分の点を$${\bm{p}(x,y)}$$とすると

$$
\bm{p}(x,y)=\begin{pmatrix}x\\y\\\sqrt{[y(x)]^2-y^2}\end{pmatrix}
$$

である．求める表面積$${S}$$は

$$
S=4\int_{-1}^1\int_0^{y(x)}\left|\frac{\partial\bm{p}}{\partial y}\times\frac{\partial\bm{p}}{\partial x}\right|\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
$$

となる．ここで

$$
\frac{\partial\bm{p}}{\partial y}=\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac{y}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\end{pmatrix},
$$

$$
\frac{\partial\bm{p}}{\partial x}=\begin{pmatrix}1\\0\\\frac{y(x)y'(x)}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\end{pmatrix},
$$

$$
\frac{\partial\bm{p}}{\partial y}\times\frac{\partial\bm{p}}{\partial x}=\begin{pmatrix}\frac{y(x)y'(x)}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\\-\frac{y}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\\-1\end{pmatrix},
$$

$$
\begin{aligned}\left|\frac{\partial\bm{p}}{\partial y}\times\frac{\partial\bm{p}}{\partial x}\right|&=\frac{\sqrt{[y(x)y'(x)]^2+y^2+[y(x)]^2-y^2}}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\\&=y(x)\frac{\sqrt{1+[y'(x)]^2}}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\end{aligned}
$$

であるから，

$$
\begin{aligned}S&=4\int_{-1}^1\int_0^{y(x)}y(x)\frac{\sqrt{1+[y'(x)]^2}}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\&=4\int_{-1}^1y(x)\sqrt{1+[y'(x)]^2}\left(\int_0^{y(x)}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}\right)\mathrm{d}x\\\end{aligned}
$$

となる．ここで

$$
\begin{aligned}\int_0^{y(x)}\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{[y(x)]^2-y^2}}&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{y(x)\cos\theta}{y(x)\sqrt{1-\sin^2\theta}}\mathrm{d}\theta\\&=\frac{\pi}{2}\end{aligned}
$$

であるから

$$
S=2\pi\int_{-1}^1y(x)\sqrt{1+[y'(x)]^2}\mathrm{d}x
$$

$$
\therefore S=2\pi\int_{-1}^1y\sqrt{1+(y')^2}\mathrm{d}x
$$

となる．∎

解説

曲面の面積を求める問題です．
回転体の側面積は$${2\pi\int_a^by(x)\mathrm{d}x}$$ではないので注意しましょう．体積は$${\pi\int_a^b[y(x)]^2\mathrm{d}x}$$です．