いい加減な翻訳:フーリエ級数と直交多項式, D. Jackson (1)
第1章 フーリエ級数
1. フーリエ級数の定義
任意の関数は次の無限級数で表すこと可能です。
$$
f(x) = A_0 + a_1 \cos x + a_2 \cos 2x + \cdots \\
+ b_1 \sin x + b_2 \sin 2x + \cdots
$$
この級数は、その係数をこの後に述べるような方法で決定決めるとき、Fourier級数と呼ばれます。
各項は周期$${2\pi}$$の周期関数ですので、当然にこの級数も同じ周期を持ちます(ある関数$${\phi(x)}$$が、もし$${\phi(x+a)}$$と$${\phi(x)}$$が恒等的に等しいとき、周期$${a}$$を持つと呼ばれます。それは$${a}$$が$${\phi(x+a)=\phi(x)}$$の関係を満たす最小値でない場合も周期となります。$${a}$$を周期とするなら、$${a}$$の整数倍も周期です。従って、$${\cos nx}$$と$${\sin nx}$$は、$${2\pi/n}$$という小さな周期も持ちますが、周期$${2\pi}$$も持つとも言えます)。
Fourier級数は、周期性を気にしないなら、任意の関数をある単一の$${2\pi}$$の区間表すのにも有効です。このとき、周期性は単にその区間外を評価したことで生じるものでしかありません。
この周期$${2\pi}$$は他の任意の長さに変えることができます。このときは式は少しだけ変わりますが、それ以上の特に複雑なことは何もありません。