いい加減な翻訳：フーリエ級数と直交多項式, D. Jackson (2)

2. sinとcosの直交性

この係数を決めるには、級数各項に含まれるsinとcosのある定積分を計算することが関係してきます。まずは、$${ n (\ne 0) }$$ に対して、

$$
\begin{align}
\int_{-\pi}^\pi \cos nx \, dx = 0, \qquad
\int_{-\pi}^\pi \sin nx \, dx = 0
\tag{2}
\end{align}
$$

二番目の式は $${ n = 0 }$$ でも成立します。一番目の方は$${ n = 0 }$$とすると右辺は$${2\pi}$$に変わります。

本節この後では、$${ p }$$と$${ q }$$は非負整数を表すものとします。三角関数の関係式：

$$
\cos px \cos qx = \frac 12 \cos (p-q)x + \frac 12 \cos (q+p)x
$$

から、両辺$${[-\pi , \pi]}$$で積分すると、$${ p \ne q }$$であれば式(2)の関係から$${ n = p-q, n = p+q }$$とすることで右辺は0となるので

$$
\begin{align}
\int_{-\pi}^\pi \cos px \cos qx \, dx = 0
\tag{3}
\end{align}
$$

が得られます。もし$${ q = p \ne 0 }$$のときは、$${ \cos (p+q) x }$$の積分は0のままですが、もう一方の項から

$$
\int_{-\pi}^\pi \cos^2 px \, dx = \pi
$$

となります。同様に、恒等式：

$$
\begin{align*}
\sin px \sin qx &= \frac 12 \cos (p-q)x - \frac 12 \cos (p+q)x, \\
\sin px \cos qx &= \frac 12 \sin (p-q)x + \frac 12 \sin (p+q)x
\end{align*}
$$

から、次式が与えられます。

$$
\begin{align}
\int_{-\pi}^\pi \sin px \sin qx \, dx &= 0, & p &\ne q, \tag{4} \\
\int_{-\pi}^\pi \sin^2 px \, dx &= \pi, & p &\ne 0, \nonumber \\
\int_{-\pi}^\pi \sin px \cos qx \, dx &= 0, \tag{5}
\end{align}
$$

最後の式(5)は$${p}$$, $${q}$$が同じでも異なっても成立します。

式(3), (4), (5)が 0 となるということは、「$${\cos x, \cos 2x, \cdots, \sin x , \sin 2x, \cdots}$$は$${-\pi , \pi}$$の区間にわたって互いに直交している」ということができます。

もし

$$
\int_a^b u(x) v(x) dx = 0,
$$

が成立するなら、一般に二つの関数$${u(x), v(x)}$$は、区間$${(a, b)}$$において互いに直交と言われます。

この直交性という概念は、純粋にその定義に基づいた、関数の関係の特性として考えられるべきものですが、実際には、明らかではないですがおそらくある段階での解釈や一般化によって、幾何学における垂直性の概念と関連しています。