【物工過去問001】東大物工2020物理[1]　連成振動　解答＋解説【★1】

東大工学系研究科の物理工学専攻 2020年度(2019年8月実施)問題の第1問の解答です。一瞬[1]~[4]まで揃えて売ろうと思ってたんですが、まず普通に解答がクソ長くて全部まとまってたら読みづらいことに気づいてしまったのでバラ売りになっています。書き始めたらバカみたいに時間かかった上に5000文字以上あるんで200円で売ってますが、今のところtwitterで拡散してくれたら半額で買えるようになってます。

注意：値段設定は需要が読めない故の仮置きです。とはいえこの問題を値上げするってことはないので安心してください。（ほかの問題の値段設定の参考にはすると思いますが）

一応ほかの解答も時間の許す限りは揃えていこうと思うので、将来的には年度によってバラ解答じゃなくて通しで解答を作るかもしれません。
とりあえず[1.1]の解答だけ見れるので、どんな感じでどれだけ詳しく書いてあるかの参考にして頂ければと思います。

目標としては「できるだけ見やすく」「過去問取り組み始めでも読める」解答を作ったつもりです。もし過去問とかを手に入れて今から勉強始めるよ、っていう方はやってみてください。（ここだけの話、自分のNoteを探ってみればどっかに過去問が手に入れられる手段が書いてあります）
無論、直前期に読んでも煩わしくない程度の、要点のみに絞った解説なのでそこまで物理的な背景なんかは説明しない（できない）ですが……勉強する上で必要十分なモノになっていると思います。

概観

2020年第１問は連成振動の問題でした。他の問題と比較するととっつきやすく、特別な知識も必要ないので時間内で無理なく最後まで完答できる（と思う）。計算力もさほど要求されないうえ、問題の解答もなんとなく納得できるものだと思うので問題なく解けるようになっておくべきだと感じます。
というか2020年の4つの問題は割と簡単なの多めでとっつきやすいと思います。

おそらく（比較的）大学院入試初心者でも解きやすく分かりやすい問題だと思うので、「少なくともこれぐらいは完答できておかないとダメなんだな」という参考に解いてもらえると良いかなと思います。

[1]連成振動

[1.1]行列形式の運動方程式

(1)
$${n=0}$$のとき
$${m\ddot{x}=-k(x_1-0)+k(x_2-x_1)=k(-2x_1+x_2)}$$
である。

左にあるバネは負、右にあるバネは正方向に引っ張るという単純な運動方程式
１個目ができたらあとはN個について作るだけです。

$${n{=}\mathllap{/\,} 0,Nのとき}$$
$${m\ddot{x}=-k(x_n-x_{n-1})+k(x_{n+1}-x_n)=k(2x_n-x_{n-1}-x_{n+1})}$$

$${n=N}$$のとき
$${m\ddot{x}=-k(x_{N}-x_{N-1})+k(0-x_{N})=k(-2x_N+x_{N-1})}$$
である。

以上より、$${K}$$は

$$
K =k
\begin{pmatrix}
2 & -1 &0&0&…&&&& \\
-1 & 2 & -1 &0&…&&&\\
0&-1&2&-1&…&&\\
0&0&-1&2&…\\
\\
\\
&&&&…&-1&2&-1\\
&&&&…&0&-1&2


\end{pmatrix}
$$

となる。

Note数式だと分かりづらいですが、対角成分が2で、その隣が全て-1になる行列です。分かりやすく場合分けして記述していますが、全体の内容を考えるとここまで丁寧である必要はないでしょう。

（直前期の人向け）
おそらく$${x_0}$$と$${x_{N+1}}$$をともに0とおいてしまって、$${m\ddot{x}=-k(x_n-x_{n-1})+k(x_{n+1}-x_n)=k(2x_n-x_{n-1}-x_{n+1})}$$の式にまとめて議論してしまうのがスマートです。全体の割合を見るとそこまで[1.1]が重要だと思えないので、これぐらいざっくりと議論しても（答えがあってれば）減点されることは無いでしょう。
ていうか最悪が合ってれば行列Kだけ書いても平気です！（多分）

[1.2]固有値および規格化定数

まず固有値を求める。

$${K\bm{u_l} = \lambda_l\bm{u_l}}$$

より